ガウス関数のフーリエ変換
証明
フーリエ変換の定義と補助定理を用いると、
$$ \begin{align*} \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi) &= \int e^{-Ax^2}e^{-i\xi x}dx \\ &= \int e^{-A(x^2+\frac{i\xi}{A}x) } dx \\ &= \int e^{-A\left[ \left( x^2+\frac{i\xi}{A}x+\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right) - \left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right] } dx \\ &= \int e^{-A\left[ x^2+\frac{i\xi}{A}x+\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right]} e^{ A\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 } dx \\ &= e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \int e^{-A \left( x+\frac{i\xi}{2A} \right)^2} dx \\ &= e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \int e^{-Au^2} du \\ &= \sqrt{ \dfrac{\pi}{A} }e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \end{align*} $$
6番目の等号は $x+\dfrac{i\xi}{2A}=u$ と置換することで成立する。
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