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ガウス関数のフーリエ変換 📂フーリエ解析

ガウス関数のフーリエ変換

証明

フーリエ変換の定義と補助定理を用いると、

F[e−Ax2](ξ)=∫e−Ax2e−iξxdx=∫e−A(x2+iξAx)dx=∫e−A[(x2+iξAx+(iξ2A)2)−(iξ2A)2]dx=∫e−A[x2+iξAx+(iξ2A)2]eA(iξ2A)2dx=e−ξ24A∫e−A(x+iξ2A)2dx=e−ξ24A∫e−Au2du=πAe−ξ24A \begin{align*} \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi) &= \int e^{-Ax^2}e^{-i\xi x}dx \\ &= \int e^{-A(x^2+\frac{i\xi}{A}x) } dx \\ &= \int e^{-A\left[ \left( x^2+\frac{i\xi}{A}x+\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right) - \left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right] } dx \\ &= \int e^{-A\left[ x^2+\frac{i\xi}{A}x+\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 \right]} e^{ A\left( \frac{i\xi}{2A} \right)^2 } dx \\ &= e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \int e^{-A \left( x+\frac{i\xi}{2A} \right)^2} dx \\ &= e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \int e^{-Au^2} du \\ &= \sqrt{ \dfrac{\pi}{A} }e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} \end{align*}

6番目の等号は x+iξ2A=ux+\dfrac{i\xi}{2A}=u と置換することで成立する。

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