加法性を持つ連続関数の性質
定理
- [1] 連続関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が全ての $x, y \in \mathbb{R}$ に対して $f(x + y) = f(x) + f(y)$ を満たす場合 $$ f(x) = f(1) x $$
- [2] 連続関数 $g : \mathbb{R} \to ( 0 , \infty )$ が全ての $x, y \in \mathbb{R}$ に対して $g(x + y) = g(x) g(y)$ を満たす場合 $$ g(x) = \left( g(1) \right)^x $$
説明
$f(x + y) = f(x) + f(y)$ のように、加法が関数を通じて保持される性質を加法性と呼び、乗法が保持される性質を乗法性と呼ぶ。$g$ は加法性と乗法性が半々に混ざった感じのホモモルフィズムです。
証明
戦略：まず、有理数が関数の内外を移動できることを示し、次に $x$ に収束する有理数の数列を作る。連続性が保証されているので $\lim$ も関数の内外を移動する点として利用する。
[1]
パート 1. $f(-x) = - f(x)$
加法性により $$ f( 0 ) = f( 0 + 0 ) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 0 $$ 同様に加法性により $$ 0 = f( 0 ) = f( x + (-x) ) = f(x) + f( -x ) \implies f(-x) = - f(x) $$
パート 2. $f(qx) = q f(x)$
$n \in \mathbb{N}$ に対して $$ f(nx) = f \left( \underbrace{x + \cdots + x}_{n} \right) = \underbrace{f(x) + \cdots + f(x)}_{n} = n f(x) \implies f(nx) = nf(x) $$ $\displaystyle y := {{ x } \over {n}}$ とすると $$ f(x) = f(ny) = n f(y) = n f \left( {{x} \over {n}} \right) \implies f \left( {{x} \over {n}} \right) = {{1} \over {n}} f(x) $$ そしてパート 1によると、この性質は負の数に対しても成り立つので、全ての $q \in \mathbb{Q}$ に対して $$ f(qx) = q f(x) $$
パート 3. $f(x) = mx$
$x \in \mathbb{R}$ に収束する有理数の数列、$\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ を定義するとパート 2と $f$ の連続性に基づいて
$$ \begin{align*} f(x) =& f( x \cdot 1 ) \\ =& f( \lim_{n \to \infty} q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} f( q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} q_{n} f( 1 ) = f(1) x \end{align*} $$
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[2]
パート 1. $\displaystyle g(-x) = \left( g (x) \right)^{-1}$
$g(x) \ne 0$ なので $$ g( 0 ) = g( 0 + 0 ) = g(0) g(0) \implies g(0) = 1 $$ 同様に $$ 1 = g( 0 ) = g( x + (-x) ) = g(x) g( -x ) \implies g(-x) = {{1} \over {g(x)}} $$
パート 2. $g(qx) = \left( g(x) \right)^{q}$
$n \in \mathbb{N}$ に対して $$ g(nx) = g \left( \underbrace{x + \cdots + x}_{n} \right) = \underbrace{ g(x) \times \cdots \times g(x)}_{n} = \left( g(x) \right)^{n} \implies g(nx) = \left( g(x) \right)^{n} $$ $\displaystyle y := {{ x } \over {n}}$ とすると $$ g(x) = g(ny) = \left( g(y) \right)^{n} = \left( g \left( {{x} \over {n}} \right) \right)^{n} \implies g \left( {{x} \over {n}} \right) = \left( g(x) \right)^{{1} \over {n}} $$ そしてパート 1によると、この性質は負の数に対しても成り立つので、全ての $q \in \mathbb{Q}$ に対して $$ g(qx) = \left( g(x) \right)^{q} $$
パート 3.
$g(x) = a^x$ そして $x \in \mathbb{R}$ に収束する有理数の数列、$\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ を定義するとパート 2と $g$ の連続性に基づいて $$ \begin{align*} g(x) =& g( x \cdot 1 ) \\ =& g( \lim_{n \to \infty} q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} g( q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} g( 1 )^{q_{n}} \\ =& g( 1 )^{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} q_{n}} \\ =& \left( g(1) \right)^{x} \end{align*} $$
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