加法性を持つ連続関数の性質
📂関数加法性を持つ連続関数の性質
定理
- [1] 連続関数 f:R→R が全ての x,y∈R に対して f(x+y)=f(x)+f(y) を満たす場合
f(x)=f(1)x
- [2] 連続関数 g:R→(0,∞) が全ての x,y∈R に対して g(x+y)=g(x)g(y) を満たす場合
g(x)=(g(1))x
説明
f(x+y)=f(x)+f(y) のように、加法が関数を通じて保持される性質を加法性と呼び、乗法が保持される性質を乗法性と呼ぶ。g は加法性と乗法性が半々に混ざった感じのホモモルフィズムです。
証明
戦略:まず、有理数が関数の内外を移動できることを示し、次に x に収束する有理数の数列を作る。連続性が保証されているので lim も関数の内外を移動する点として利用する。
[1]
パート 1. f(−x)=−f(x)
加法性により
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)⟹f(0)=0
同様に加法性により
0=f(0)=f(x+(−x))=f(x)+f(−x)⟹f(−x)=−f(x)
パート 2. f(qx)=qf(x)
n∈N に対して
f(nx)=f(nx+⋯+x)=nf(x)+⋯+f(x)=nf(x)⟹f(nx)=nf(x)
y:=nx とすると
f(x)=f(ny)=nf(y)=nf(nx)⟹f(nx)=n1f(x)
そしてパート 1によると、この性質は負の数に対しても成り立つので、全ての q∈Q に対して
f(qx)=qf(x)
パート 3. f(x)=mx
x∈R に収束する有理数の数列、{qn}n∈N を定義するとパート 2と f の連続性に基づいて
f(x)====f(x⋅1)f(n→∞limqn⋅1)n→∞limf(qn⋅1)n→∞limqnf(1)=f(1)x
■
[2]
パート 1. g(−x)=(g(x))−1
g(x)=0 なので
g(0)=g(0+0)=g(0)g(0)⟹g(0)=1
同様に
1=g(0)=g(x+(−x))=g(x)g(−x)⟹g(−x)=g(x)1
パート 2. g(qx)=(g(x))q
n∈N に対して
g(nx)=g(nx+⋯+x)=ng(x)×⋯×g(x)=(g(x))n⟹g(nx)=(g(x))n
y:=nx とすると
g(x)=g(ny)=(g(y))n=(g(nx))n⟹g(nx)=(g(x))n1
そしてパート 1によると、この性質は負の数に対しても成り立つので、全ての q∈Q に対して
g(qx)=(g(x))q
パート 3.
g(x)=ax そして x∈R に収束する有理数の数列、{qn}n∈N を定義するとパート 2と g の連続性に基づいて
g(x)======g(x⋅1)g(n→∞limqn⋅1)n→∞limg(qn⋅1)n→∞limg(1)qng(1)n→∞limqn(g(1))x
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