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実数の濃度と有理数の濃度の比較 📂集合論

実数の濃度と有理数の濃度の比較

概要 1

card(Q)=0,card(R)=c\operatorname{card}(\mathbb{Q})={{ \aleph }_{ 0 }}, \operatorname{card}(\mathbb{R})=cについて 20=c0<c { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =c \\ {{ \aleph }_{ 0 }}<c

説明

カントールの対角線論法を見れば分かるように、有理数の集合よりも実数の集合のほうが遥かに多くの要素を持つ。その濃度は、不等式を立てて示すことができる。

証明

パート 1. c20c \le 2^{\aleph_{0}}

関数f:R(Q)f : \mathbb{R} \to \wp (\mathbb{Q})f(a):=xQx<a,aRf(a):={x\in \mathbb{Q}|x<a, a\in \mathbb{R}}として定義しよう。実数の稠密性により、二つの実数a<ba<bについてa<r<ba<r<bを満たす有理数rrが存在する。r<br<bだからrf(b)r\in f(b)でもa<ra<rだからrf(a)r\notin f(a)つまり、f(a)f(b)f(a)\neq f(b)である。従って、ffは単射であり、補題により card(R)card((Q)) \operatorname{card}(\mathbb{R})\le \operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q})) card((Q))=2card(Q)=20\operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))= { 2 }^{ \operatorname{card}(\mathbb{Q}) }= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }より c=card(R)card((Q))=20 c=\operatorname{card}(\mathbb{R})\le \operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }


パート 2. 20c 2^{\aleph_{0}} \le c

関数g:0,1NRg : { {0,1} }^{ N } \to \mathbb{R}g(a):=0.a1a2a3g(a):=0. { a }_{ 1 } { a } _{ 2 } { a }_{ 3 }\cdotsとし、(aa0,1N{ {0,1} }^{ N }の要素)のように定義しよう。ggの関数値は0.001011010.00101101\cdotsのように0011からなる小数表示で表すことができる。

0,1N{ {0,1} }^{ N }の二つの要素a,ba,bについて、aba\neq bならばg(a)g(b)g(a)\neq g(b)だからggは単射で、 card(0,1N)card(R) \operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) \le \operatorname{card}(\mathbb{R}) card(0,1N)=2card(N)=20\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) = { 2 }^{ \operatorname{card}(N) }= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }より 20=card(0,1N)card(R)=c { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) \le \operatorname{card}(\mathbb{R})=c


パート 3. 0<20\aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}}

20c{ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } \ge cであり、20c{ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } \le cであるから 20=c { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =c

カントールの定理:任意の集合XXとその冪集合(X)\wp (X)に対してcard(X)<card((X))\operatorname{card}(X)<\operatorname{card}(\wp (X))が成立する

カントールの定理によって0<20{{ \aleph }_{ 0 }}< { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }が成立するから0<c{{ \aleph }_{ 0 }}<cである、そして 0<20 \aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}}


  1. 이흥천 역, You-Feng Lin. (2011). 집합론(Set Theory: An Intuitive Approach): p269. ↩︎