📂集合論

実数の濃度と有理数の濃度の比較

概要 ¹

$\operatorname{card}(\mathbb{Q})={{ \aleph }_{ 0 }}, \operatorname{card}(\mathbb{R})=c$について $$ { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =c \\ {{ \aleph }_{ 0 }}<c $$

説明

カントールの対角線論法を見れば分かるように、有理数の集合よりも実数の集合のほうが遥かに多くの要素を持つ。その濃度は、不等式を立てて示すことができる。

証明

パート 1. $c \le 2^{\aleph_{0}}$

関数$f : \mathbb{R} \to \wp (\mathbb{Q})$を$f(a):={x\in \mathbb{Q}|x<a, a\in \mathbb{R}}$として定義しよう。実数の稠密性により、二つの実数$a<b$について$a<r<b$を満たす有理数$r$が存在する。$r<b$だから$r\in f(b)$でも$a<r$だから$r\notin f(a)$つまり、$f(a)\neq f(b)$である。従って、$f$は単射であり、補題により $$ \operatorname{card}(\mathbb{R})\le \operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q})) $$ $\operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))= { 2 }^{ \operatorname{card}(\mathbb{Q}) }= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$より $$ c=\operatorname{card}(\mathbb{R})\le \operatorname{card}(\wp (\mathbb{Q}))= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } $$

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パート 2. $ 2^{\aleph_{0}} \le c$

関数$g : { {0,1} }^{ N } \to \mathbb{R}$を$g(a):=0. { a }_{ 1 } { a } _{ 2 } { a }_{ 3 }\cdots$とし、($a$は${ {0,1} }^{ N }$の要素)のように定義しよう。$g$の関数値は$0.00101101\cdots$のように$0$と$1$からなる小数表示で表すことができる。

${ {0,1} }^{ N }$の二つの要素$a,b$について、$a\neq b$ならば$g(a)\neq g(b)$だから$g$は単射で、 $$ \operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) \le \operatorname{card}(\mathbb{R}) $$ $\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) = { 2 }^{ \operatorname{card}(N) }= { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$より $$ { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =\operatorname{card}\left( { {0,1} }^{ N } \right) \le \operatorname{card}(\mathbb{R})=c $$

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パート 3. $\aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}}$

${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } \ge c$であり、${ 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } \le c$であるから $$ { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} } =c $$

カントールの定理：任意の集合$X$とその冪集合$\wp (X)$に対して$\operatorname{card}(X)<\operatorname{card}(\wp (X))$が成立する

カントールの定理によって${{ \aleph }_{ 0 }}< { 2 }^{ {{ \aleph }_{ 0 }} }$が成立するから${{ \aleph }_{ 0 }}<c$である、そして $$ \aleph_{0} < 2^{\aleph_{0}} $$

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