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三角関数の平行移動と導関数の関係 📂関数

三角関数の平行移動と導関数の関係

公式

  • [1] サイン: sin⁡(θ+n2π)=sin⁡(n)θ\sin{\left( \theta +\frac { n }{ 2 }\pi \right)}={ \sin }^{ (n) }\theta
  • [2] コサイン: cos⁡(θ+n2π)=cos⁡(n)θ\cos{\left( \theta +\frac { n }{ 2 }\pi \right)}={ \cos }^{ (n) }\theta
  • (n)(n) は nn 回微分することを意味する。

説明

簡単に言うと、90˚動くたびに微分を一回ずつ行うということだ。実際に n=3n=3 に対して計算してみよう。

加法定理を使った方法

cos⁡(θ+32π)=cos⁡θcos⁡32π−sin⁡θsin⁡32π=cos⁡θ⋅0−sin⁡θ⋅(−1)=sin⁡θ \begin{align*} \cos \left( \theta +{3 \over 2}\pi \right) =& \cos\theta \cos\frac { 3 }{ 2 }\pi -\sin\theta \sin\frac { 3 }{ 2 }\pi \\ =& \cos\theta \cdot 0-\sin\theta \cdot (-1) \\ =& \sin\theta \end{align*}

公式を使った方法

cos⁡(3)θ=(cos⁡θ)′′′=(−sin⁡θ)′′=(−cos⁡θ)′=sin⁡θ \begin{align*} { \cos }^{ (3) }\theta =& (\cos\theta )\prime \prime \prime \\ =& (-\sin\theta )\prime \prime \\ =& (-\cos\theta )\prime \\ =& \sin\theta \end{align*}

当然、加法定理を使って求めるよりも微分を3回するほうが楽だ。実際、問題解決では 90˚90˚ ほど平行移動するケースがそんなに頻繁に出てくるわけではないので、頻繁には使わないが、非常に簡単な公式なので覚えるというよりも把握する感じで知っておくと役に立つだろう。