📂微分方程式

常微分方程式

定義¹

一変数関数 $u(t)$に対して、次の形式^formを常微分方程式^{ordinary differential equations (ODE)}と呼ぶ。

$$ F(t, u(t), u^{\prime}(t), \dots, u^{(n)}(t)) = 0 \tag{1} $$

ここで、$u^{\prime}$は$u$の導関数であり、$u^{(n)}$は$u$の$n$階導関数または簡単に$y = u(t)$と呼ばれる。

$$ F(t, y, y^{\prime}, \dots, y^{(n)}) = 0 $$

説明

$(1)$における$n$を方程式の階数^orderという。学部レベルの常微分方程式では主に1階常微分方程式と2階常微分方程式を扱う。

$(1)$を満足する関数$u$を微分方程式の解^solutionと呼び、「微分方程式を解く」ということは「微分方程式の解を見つける」ことと同義である。

常微分方程式は、独立変数が1つである微分方程式を指す。独立変数は主に$t$、$x$と表記する。$t$と記述されている場合、時間を意味することを覚えておく必要がある。時間に対する微分は、文字上の点で簡略に表現されることが多い。

$$ \dfrac{dx}{dt} = \dot{x} \qquad \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = \ddot{x} $$

初期値問題²

次のような常微分方程式が与えられたとしよう。

$$ F(t, u(t), u^{\prime}(t), \dots, u^{(n)}(t)) = 0 \tag{1} $$ $$ \begin{aligned} u(t_{0}) &= u_{0} \\ u^{\prime}(t_{0}) &= u_{1} \\ &\vdots \\ u^{(n-1)}(t_{0}) &= u_{n-1} \end{aligned} \tag{2} $$

この時、$(2)$を初期条件^{initial condition}と呼び、$(1)$と$(2)$を組み合わせて初期値問題^{initial value problem}と呼ぶ。$n$階微分方程式の解を探すには、$n$個の初期値が必要である。

境界値問題³

区間 $[a, b]$で定義された関数 $y(x)$について、次のような2階常微分方程式が与えられたとしよう。

$$ y^{\prime \prime}(x) + p(x)y^{\prime}(x) + q(x)y(x) + r(x) = 0 \tag{4} $$ $$ y(a) = y_{0}, \quad y(b) = y_{1} \tag{5} $$

この場合、$(5)$を境界条件^{boundary condition}と呼び、$(4)$と$(5)$を組み合わせて境界値問題と呼ぶ。境界値問題では、独立変数が空間を意味することが多い。