累乗級数

定義

$S(x) : = \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} ( x - x_{0} )^{k}$ を冪級数と言い、 $S(x)$ の中心^centerを $x_{0}$ とする。
$S(x)$ が $|x - x_{0}| < R$ に対して絶対収束し、 $|x - x_{0}| > R$ に対して発散するとき、 $R$ を $S(x)$ の収束半径^{radius of Convergence}と言う。
$S(x)$ が収束する最大の区間を 収束区間^{interval of Convergence}と言う。
収束区間 $[c,d] \subset (a,b)$ で $x_{0} \in (c,d)$ を中心とする冪級数 $\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} ( x - x_{0} )^{k} = f(x)$ が存在するなら、 $f$ は $(a,b)$ で解析的^analyticであると言う。
すべての $n$ に対して $a_{n}=b_{n}$ が成り立てば、二つの冪級数 $\sum \limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0) ^n$ 、 $\sum \limits_{n=0}^\infty b_n(x-x_0) ^n$ が等しいと言う。
$a_0=a_1=a_2=\cdots=0$ ならば $\sum \limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^{n}=0,\quad \forall x$

説明

解析学を大学の時最初に学んでみて、なぜ「微積分学」と「解析学」が分けているのか、また解析学ではなぜそのように数列や級数にこだわるのか理解できないかもしれない。でも、興味を失わずに冪級数まで学べれば、少なくともヒントを得ることができるだろう。

すぐに解析学を学ぶ理由が何かと聞かれたら、「難しい関数を簡単な関数に引き下ろすため」と答えてもいい。例えば、超越関数は難しいが、多項式関数は簡単だ。もし超越関数が解析的であれば、それは幸運なことだ。解析的な関数とは級数展開できる関数であり、級数展開が可能な関数とは、結局多項式の和として解くことができる関数であるという意味だ。

冪級数は基本解析学で重要に扱われる概念であり、特に収束性に多くの条件が付いている。制約が多いだけに、良い性質も多く持っており、無限級数でありながら、いわゆる「常識的」に扱いやすい。

整理

(a) $R := \lim_{k \to \infty} {{ | a_{k} | } \over { | a_{k+1} | }}$ が存在するなら、 $R$ は $S(x)$ の収束半径である。
(b) 収束半径 $R > 0$ が存在するなら、 $S(x)$ はすべての $x \notin [ x_{0} - R , x_{0} + R ]$ において発散する。
(c) 収束半径 $R > 0$ が存在するなら、 $S(x)$ はすべての $x \in ( x_{0} - R , x_{0} + R )$ に対して絶対収束する。
(d) 収束半径 $R > 0$ が存在するなら、 $S(x)$ はすべての $[a,b] \subset ( x_{0} - R , x_{0} + R )$ において一様収束する。
(e) 収束半径 $R > 0$ が存在するなら、 $S(x)$ は $( x_{0} - R , x_{0} + R )$ において連続である。
(f) 収束半径 $R > 0$ が存在するなら、 $S(x)$ は $( x_{0} - R , x_{0} + R )$ において無限回微分可能で、 $S^{(k)} (x) = \sum \limits_{n=k}^{\infty} {{n!} \over {(n-k)!}} a_{n} (x - x_{0} )^{n-k}$
(g) $S(x)$ が $[a,b]$ において収束するなら、 $[a,b]$ で積分可能で、 $\int_{a}^{b} S(x) dx = \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \int_{a}^{b} (x - x_{0} )^{k} dx$

参照

生成関数