完全正規直交基底と完全正規直交集合
定理：正規直交集合が持つ同値条件
$\left\{ \phi_{n} \right\}_{1}^\infty$が$L^2(a,b)$の正規直交集合であり、$f \in L^2(a,b)$とする。すると、以下の条件はすべて同値である。
$(a)$すべての$n$に対して$\left\langle f, \phi_{n} \right\rangle=0$ならば、$f=0$である。
$(b)$すべての$f\in L^2(a,b)$に対して、級数$\sum_{1}^\infty \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n}$が$f$にノルムセンスで収束する。つまり、以下の式が成り立つ。
$$ f=\sum_{1}^\infty \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n} $$
$(c)$すべての$f \in L^2(a,b)$に対して、パーセバルの方程式と呼ばれる以下のような式を満たす。
$$ \| f \|^2 = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2} $$
説明
$(a) - (c)$を満たす正規直交集合を正規直交基底または完全正規直交集合と呼ぶ。
これらの三条件をよく見ると、正規直交基底は有限次元のベクター空間で基底と同じ役割を果たすことがわかる。
$\left\{ \phi_{n} \right\}$が正規直交基底のとき、定数$\left\langle f, \phi_{n}\right\rangle$を（一般化された）フーリエ係数と呼ぶ。
級数$\sum \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle\phi_{n}$を（一般化された）フーリエ級数と呼ぶ。
補助定理
$f \in L^2(a,b)$であり、$\left\{ \phi_{n} \right\}$が$L^2(a,b)$で正規直交集合であるとする。すると級数$\sum \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle\phi_{n}$はノルムセンスで収束する。そして、次のような不等式を満たす。
$$ \left\| \sum \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\| \le | f| $$
証明
$(a) \implies (b)$
$(a)$とする。すると補助定理によって$\sum \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}$はノルムセンスで収束する。級数の差を$g$と定義する。
$$ g=f-\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} $$
すると、$g=0$を示すことができる。
$$ \begin{align*} \left\langle g,\phi_{m} \right\rangle &=\ \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle - \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \left\langle \phi_{n}, \phi_{m} \right\rangle \\ &=\ \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle - \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle \\ &=\ 0 \end{align*} $$
したがって、仮定により$g=0$である。ゆえに、$f= \sum_{n=1}^\infty \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}$
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$(b) \implies (c)$
$(b)$とする。すると、$f=\sum_{1}^\infty \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle\phi_{n}$なので
$$ \begin{align*} \| f \|^2 &=\ \left\| \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle \phi_{n} \right\| ^2 \\ &= \left\| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} \right\| ^2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left\| \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} \right\| ^ 2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum _{n=1}^{N} | \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle |^2 \\ &= \sum \limits _{n=1} ^{\infty} | \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle |^2 \end{align*} $$
三番目の等式は、仮定により級数がノルムセンスで収束するから成り立つ。四番目の等式はピタゴラスの定理により成り立つ。
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$(c) \implies (a)$
$(c)$とする。すると、
$$ \| f \|^2 =\sum \limits _{n=1} ^{\infty}\left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2} $$
したがって、すべての$n$に対して$\left\langle f, \phi_{n} \right\rangle=0$ならば、$f=0$であることが示される。
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