📂シュワルツ超函数

すべての局所可積分関数が超関数に拡張可能であることを証明

定理¹

すべての$u \in L_{\mathrm{loc} }^1(\Omega) $に対して、次のように定義される超関数 $T_{u} \in D^{\ast}(\Omega)$が存在する。

$$ T_{u} (\phi) := \int_{\Omega} u(x)\phi (x)dx, \quad \phi \in D(\Omega) $$

説明

$\mathcal{D}(\Omega)$はテスト関数空間である。このように定義される超関数を正則超関数^{regular distribution}と呼ぶ。また、上の式は内積空間の観点から見ると$u$と$\phi$の内積と同じであるため、以下のように表記することもある。

$$ T_{u}(\phi)=\langle u , \phi \rangle $$

上の定理によれば、局所積分可能な関数を超関数として扱ってもよい。このような理由で、超関数を一般化された関数と呼ぶことがある。

証明

上で定義した$T_{u}$が超関数であるかどうかは、$\mathcal{D}$の連続性と線形性を持つ汎関数であることを示すことだ。線形性は積分によって定義されているため自明であり、連続性を示せば良い。このときの連続性とはテスト関数空間での収束による連続性であることを忘れないで欲しい。

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$\phi_{j} \rightarrow \phi\ \ \mathrm{in}\ D(\Omega)$と仮定する。すると、収束の定義により、次のような$K \Subset\Omega$が存在する。

$$ \mathrm{supp}(\phi_{j}-\phi) \subset K\quad \forall\ j $$

すると、$u$は局所積分可能であるため、$M>0$に対して以下の式が成り立つ。

$$ \begin{align*} \left| T_{u}(\phi_{j})-T_{u}(\phi) \right| &= \left| \int_{K} u(x)\left( \phi_{j}(x) -\phi (x) \right) dx \right| \\ & \le \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right| \int_{K} |u(x)|dx \\ &\le \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right|M \end{align*} $$

このとき、仮定により$\phi_{j}(x) \rightrightarrows \phi (x)$であるため、次が成り立つ。

$$ \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right|M \to 0 \quad \text{as } j \rightarrow \infty $$

したがって、次が成り立つ。

$$ T_{u}( \phi_{j} ) \rightarrow T_{u}(\phi) \quad \text{as } j \rightarrow \infty $$

ゆえに、$T_{u}$は$\mathcal{D}$で連続である。

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すべての超関数が上に述べた形であれば扱いやすいが、残念ながらそうではない。