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すべての局所可積分関数が超関数に拡張可能であることを証明 📂シュワルツ超函数

すべての局所可積分関数が超関数に拡張可能であることを証明

定理1

すべてのuLloc1(Ω)u \in L_{\mathrm{loc} }^1(\Omega) に対して、次のように定義される超関数 TuD(Ω)T_{u} \in D^{\ast}(\Omega)が存在する。

Tu(ϕ):=Ωu(x)ϕ(x)dx,ϕD(Ω) T_{u} (\phi) := \int_{\Omega} u(x)\phi (x)dx, \quad \phi \in D(\Omega)

説明

D(Ω)\mathcal{D}(\Omega)テスト関数空間である。このように定義される超関数を正則超関数regular distributionと呼ぶ。また、上の式は内積空間の観点から見るとuuϕ\phiの内積と同じであるため、以下のように表記することもある。

Tu(ϕ)=u,ϕ T_{u}(\phi)=\langle u , \phi \rangle

上の定理によれば、局所積分可能な関数を超関数として扱ってもよい。このような理由で、超関数を一般化された関数と呼ぶことがある。

証明

上で定義したTuT_{u}が超関数であるかどうかは、D\mathcal{D}の連続性と線形性を持つ汎関数であることを示すことだ。線形性は積分によって定義されているため自明であり、連続性を示せば良い。このときの連続性とはテスト関数空間での収束による連続性であることを忘れないで欲しい。


ϕjϕ  in D(Ω)\phi_{j} \rightarrow \phi\ \ \mathrm{in}\ D(\Omega)と仮定する。すると、収束の定義により、次のようなKΩK \Subset\Omegaが存在する。

supp(ϕjϕ)K j \mathrm{supp}(\phi_{j}-\phi) \subset K\quad \forall\ j

すると、uuは局所積分可能であるため、M>0M>0に対して以下の式が成り立つ。

Tu(ϕj)Tu(ϕ)=Ku(x)(ϕj(x)ϕ(x))dxsupxKϕj(x)ϕ(x)Ku(x)dxsupxKϕj(x)ϕ(x)M \begin{align*} \left| T_{u}(\phi_{j})-T_{u}(\phi) \right| &= \left| \int_{K} u(x)\left( \phi_{j}(x) -\phi (x) \right) dx \right| \\ & \le \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right| \int_{K} |u(x)|dx \\ &\le \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right|M \end{align*}

このとき、仮定によりϕj(x)ϕ(x)\phi_{j}(x) \rightrightarrows \phi (x)であるため、次が成り立つ。

supxKϕj(x)ϕ(x)M0as j \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right|M \to 0 \quad \text{as } j \rightarrow \infty

したがって、次が成り立つ。

Tu(ϕj)Tu(ϕ)as j T_{u}( \phi_{j} ) \rightarrow T_{u}(\phi) \quad \text{as } j \rightarrow \infty

ゆえに、TuT_{u}D\mathcal{D}で連続である。


すべての超関数が上に述べた形であれば扱いやすいが、残念ながらそうではない。


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p20-21 ↩︎