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遅延時刻連続分布に関する遅延ポテンシャル 📂電磁気学

遅延時刻連続分布に関する遅延ポテンシャル

概要1

動く点電荷に関するスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは遅延ポテンシャルretarded potentialと呼ばれ、これらは以下の通りである。

V(r, t)=14πϵ0∫ρ(r′, tr)dτ′A(r, t)=μ04π∫J(r′, tr)dτ′ \begin{align*} V(\mathbf{r},\ t) &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{ \cR } d\tau^{\prime} \\[1em] \mathbf{A}( \mathbf{r},\ t) &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR}d\tau^{\prime} \end{align*}

ここでtrt_{r}は遅延時間である。

遅延時間

電荷と電流の分布が時間によって変わらない場合、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは次のポアッソン方程式を満たす。

∇2V=−1ϵ0ρ,∇2A=−μ0J \nabla^2 V=-\dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho,\quad \nabla^2 \mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J}

これを解くと以下のようになる。

V(r)=14πϵ0∫ρ(r′)dτ′,A(r)=μ04π∫J(r′)dτ′ \begin{equation} V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime}) }{ \cR } d\tau^{\prime},\quad \mathbf{A}( \mathbf{r} ) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}d\tau^{\prime} \end{equation}

\bcRは分離ベクトルである。

2.png

しかし、電磁波は光速で進むため、電流の分布が動けば、「現在の時刻」のポテンシャルは現在の電流の分布によるものではなく、「過去のある時刻」の電流の分布によるものである。大切なのは、今の電流の分布ではなく、電磁波が出発した「過去のある時刻」の電流の分布である。過ぎ去った距離が\cRであり、光速がccであるため、現時点r\mathbf{r}に到着した電磁波が出発した時刻は以下の通りである。

tr≡t−c t_{r} \equiv t-\dfrac{\cR}{c}

これを遅延時間retarded timeと呼ぶ。もっと簡単に言えば、「今」の時刻ttに到着した情報2が出発した当時の時刻を遅延時間という。時刻として表現するのはこのためである。動く点電荷、電流の分布を扱う場合、分離ベクトルはr−r′\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}ではなく、=r−w\bcR=\mathbf{r}-\mathbf{w}である。

遅延ポテンシャル

よって、電荷の分布が時間によって変わる時、つまり電荷が動く時にについて、(1)(1)を一般化すると以下の通りである。

V(r, t)=14πϵ0∫ρ(r′, tr)dτ′,A(r, t)=μ04π∫J(r′, tr)dτ′ V(\mathbf{r},\ t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{ \cR } d\tau^{\prime},\quad \mathbf{A}( \mathbf{r},\ t) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR}d\tau^{\prime}

ρ(r′,tr)\rho (\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})は時刻がtrt_{r}での点r′\mathbf{r}^{\prime}での電荷密度である。上述の二つの遅延時間に関するポテンシャルを遅延ポテンシャルと呼ぶ。これらの方程式は数学的に導出されたわけではない。しかし、物理的に正しい論理で理にかなった説明をした。論理的な飛躍はあるものの、幸いにも結果は現実によく合っている。これを証明するためには、新しく得られたポテンシャルが以下の波動方程式(2)(2)とローレンツゲージ(3)(3)を満たすか確認しなければならない。

□2V=−1ϵ0ρ□2A=−μ0J \begin{equation} \begin{aligned} \Box ^2 V &= -\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho \\ \Box ^2 \mathbf{A} &= -\mu_{0}\mathbf{J} \end{aligned} \end{equation}

∇⋅A=−μ0ϵ0∂V∂t \begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{A} = -\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial V}{\partial t} \end{equation}

このように念入りに確認する必要があるのは、同じ論理をポテンシャルではなく、電場、磁場に適用した場合、現実と一致しない結果になるからである。

  1. David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 金甚星訳) (4版, 2014), p.480-483 ↩︎

  2. 電磁気学では、電磁波、光を意味する。 ↩︎