電磁気学における運動量保存
📂電磁気学電磁気学における運動量保存
概要
電気力学では、運動量保存の法則は次のようになる。
dtdp=−ϵ0μ0dtd∫VSdτ+∮ST⋅da
説明
ニュートンの第二法則によると、対象が受ける力とその対象の運動量の変化量は等しい。
F=dtdp
pは体積V内の粒子の合計力学的運動量である。電磁場に蓄えられた運動量と区別するために、pを「力学的」運動量と呼ぶことにする。体積内の電荷が受ける電磁力は以下の通りである。
F=∮ST⋅da−ϵ0μ0dtd∫VSdτ
だから、
dtdp=−ϵ0μ0dtd∫VSdτ+∮ST⋅da
この式が電気力学における運動量保存の法則である。この形がポインティングの定理に似ているため、同様の方法で理解できる。
右側の最初の積分は、体積 Vの中に保存されている電磁場の運動量を表す。言い換えれば、ϵ0μ0Sは単位体積空間の電磁場に保存された運動量、つまり、場の運動量密度である。これを次のように表す。
g=ϵ0μ0S=ϵ0E×B
右側の第二の積分は、単位時間あたりに体積Vを囲んでいる表面(境界)Sを通じて流れ込む運動量である。だから、力学的運動量pが増加するならば、場に保存されている運動量が減っているか、境界面を通じて場に運ばれている運動量があることになる。真空のように体積V内の力学的運動量が時間に対して変化しないときは、
⟹0∫V∂t∂gdτ=−∫V∂t∂gdτ+∮ST⋅da=∮ST⋅da=∫V∇⋅Tdτ
二行目の第二括弧は発散定理によって成立する。上の結果により、以下の式が成立する。
∂t∂g=∇⋅T
上記の式は電磁運動量に関する連続方程式である。gとρが同じ役割を果たし、−TとJも同じ役割を果たす。これは、電磁運動量が局所的に保存されることを意味するが、一般的にはそうではない。電荷と電磁場が運動量をやり取りするため、その両方の運動量が保存される。つまり、物質と電磁場の運動量の合計、つまり全運動量が保存される。