📂電磁気学

電磁気学における運動量保存

概要¹

電気力学では、運動量保存の法則は次のようになる。

$$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$

説明

ニュートンの第二法則によると、対象が受ける力とその対象の運動量の変化量は等しい。

$$ \mathbf{F} = \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} $$

$\mathbf{p}$は体積$\mathcal{V}$内の粒子の合計力学的運動量である。電磁場に蓄えられた運動量と区別するために、$\mathbf{p}$を「力学的」運動量と呼ぶことにする。体積内の電荷が受ける電磁力は以下の通りである。

$$ \mathbf{F} =\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} -\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau $$

だから、

$$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$

この式が電気力学における運動量保存の法則である。この形がポインティングの定理に似ているため、同様の方法で理解できる。

右側の最初の積分は、体積 $\mathcal{V}$の中に保存されている電磁場の運動量を表す。言い換えれば、$\epsilon_{0} \mu_{0} \mathbf{S}$は単位体積空間の電磁場に保存された運動量、つまり、場の運動量密度である。これを次のように表す。

$$ \mathbf{g} =\epsilon_{0} \mu_{0} \mathbf{S} = \epsilon_{0} \mathbf{E}\times\mathbf{B} $$

右側の第二の積分は、単位時間あたりに体積$\mathcal{V}$を囲んでいる表面(境界)$\mathcal{S}$を通じて流れ込む運動量である。だから、力学的運動量$\mathbf{p}$が増加するならば、場に保存されている運動量が減っているか、境界面を通じて場に運ばれている運動量があることになる。真空のように体積$\mathcal{V}$内の力学的運動量が時間に対して変化しないときは、

$$ \begin{align*} && 0 &= - \int_{\mathcal{V}} \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a} \\ \implies && \quad \int_{\mathcal{V}} \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} d\tau &= \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a}=\int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{T} d\tau \end{align*} $$

二行目の第二括弧は発散定理によって成立する。上の結果により、以下の式が成立する。

$$ \dfrac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} =\nabla \cdot \mathbf{T} $$

上記の式は電磁運動量に関する連続方程式である。$\mathbf{g}$と$\rho$が同じ役割を果たし、$-\mathbf{T}$と$\mathbf{J}$も同じ役割を果たす。これは、電磁運動量が局所的に保存されることを意味するが、一般的にはそうではない。電荷と電磁場が運動量をやり取りするため、その両方の運動量が保存される。つまり、物質と電磁場の運動量の合計、つまり全運動量が保存される。