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シュワルツシルトの微分 📂動力学

シュワルツシルトの微分

定義1

ppを滑らかなマップf:RRf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}固定点または周期点とする。

  1. f(c)=0f ' (c) = 0であるccffクリティカルポイントcritical pointという。
  2. ppベイジンが無限の長さの間隔を含む場合、インフィニティベイジンinfinite Basinという。
  3. S(f)(x):=f(x)f(x)32(f(x)f(x))2\displaystyle S(f)(x) := {{f ''' (x) } \over { f '(x) }} - {{3} \over {2}} \left( {{f ''' (x) } \over { f '(x) }} \right)^2ffシュワルツィアン導関数という。
  4. 全てのf(x)0f ' (x) \ne 0に対してS(f)(x)<0S(f)(x) < 0ならばffネガティブシュワルツィアンを持っているという。
  5. h(x):=ax+bcx+d\displaystyle h(x) := {{ax + b} \over {cx + d}}メビウスマップという。

定理

  • [1]: hhはメビウスマップ    \iffS(h)(x)=0S(h)(x) = 0である
  • [2]: ffggがネガティブシュワルツィアンを持っていれば、fgf \circ gもネガティブシュワルツィアンを持っている。
    • ①: ppのベイジンにクリティカルポイントが存在する、または
    • ②: ppはインフィニティベイジンを持っている、または
    • ③: ppは源である。

  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p132. ↩︎