📂偏微分方程式

ラプラス方程式の平均値定理

要旨¹

開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ が与えられたとしよう。そして $u \in C^2(\Omega)$ が ラプラス方程式 を満たすとする。そうすると、各々の 開球 $B(x,r)\subset \subset \Omega$ に対して、以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} u(x) &= \dfrac{1}{n \alpha (n)r^{n-1}} \int _{\partial B(x,r)} udS =: -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} udS \\ &= \dfrac{1}{\alpha (n)r^n}\int_{B(x,r)}udy =: -\!\!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy \end{align*} $$

• $V \subset \bar V \subset U$ かつ $\bar V$ が コンパクト の時、$V\subset \subset U$ と表記する。
• $\bar V$ は $V$ の閉包
• $B(x,r)=\left\{ y \in \mathbb{R}^n \ \big|\ |y-x|<r \right\}$
• $\partial B(x,r)=\left\{ y \in \mathbb{R}^n \ \big|\ |y-x|=r \right\}$= $B(x,r)$ の境界
• $- \!\!\!\!\! \int _{\partial B(x,r)} udS =$ 開球 $B(x,r)$ の境界での $u$ の平均値
• $- \!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy=$ 開球 $B(x,r)$ での $u$ の平均値

逆もまた成立する。

それぞれの開球 $B(x,r) \subset \Omega$ で $u \in C^2(\Omega)$ が以下のように平均値の特性を満たすとする。

$$ u(x)=-\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u dS $$

すると、$u$ は 調和的 である。

証明

• Part 1. $\int \!\!\!\!\!-_{\partial B(x,r)}u(y)dS(y)=u(x)$

  固定点 $x \in \Omega$ がある。そして $d_{x}$ を以下のようにしよう。

  $$ d_{x} = \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) := \inf \limits_{y \in \partial \Omega} |x-y| >0 $$

  言い換えると、$d_{x}$ は $\Omega$ 内部の点 $x$ から $\Omega$ の境界までの最短距離を意味する。そして $\varphi(r)$ を以下のように定義しよう。

  $$ \begin{align*} \varphi(r) &:= \dfrac{1}{n \alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} u(y) dS(y) \quad \mathrm{for}\ 0< r <d_{x} \\ &= -\!\!\!\!\!\!\int_{\partial B(x,r)} u(y)S(y) \end{align*} $$

  ここで、$\varphi(r)$ が $r$ と無関係であり、その値が $u(x)$ であることを示すことが目的だ。従って、まず $\dfrac{d \phi}{dr}=0$ であることを示さなければならない。求める結果を得るために、$y=x+rz$ へ変数変換をしよう。すると $y \in \partial B(x,r)$、$z \in \partial B(0,1)$ であり、$dS(y)=r^{n-1}dS(z)$ なので、以下が成り立つ。

  $$ \begin{align} \varphi(r) &= \dfrac{1}{n \alpha (n) r^{n-1} } \int_{\partial B(x,r)} u(y)dS(y) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{n \alpha (n) r^{n-1} } \int_{\partial B(0,1)} u(x+rz)r^{n-1}dS(z) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{n \alpha (n) } \int_{\partial B(0,1)} u(x+rz)dS(z) \label{eq1} \end{align} $$

  $f(r)=g(x+rz)$ とすれば、全微分 は以下の通りだ。

  $$ df=\dfrac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}d(x_{1}+rz_{1})+\cdots + \dfrac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}d(x_{1}+rz_{1}) $$

  すると、$\dfrac{d f}{d r}$ は以下の通りだ。

  $$ \begin{align*} f^{\prime}(r) &= \dfrac{df(r)}{dr} \\ &= \frac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}\dfrac{ d(x_{1}+rz_{1})}{dr}+\cdots + \frac{\partial g}{\partial (x_{1}+rz_{1})}\dfrac{ d(x_{1}+rz_{1}) }{dr} \\ &= \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}z_{1}+\cdots + \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}z_{n} \\ &= \left( \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}, \cdots , \frac{\partial g(x+rz)}{\partial (x_{1}+rz_{1})}\right) \cdot(z_{1},\cdots,z_{n}) \\ &= Dg(x+rz)\cdot z \end{align*} $$

  これを $\eqref{eq1}$ に適用すると、以下を得る。

  $$ \begin{align*} \varphi^{\prime}(r) &= \dfrac{1}{n\alpha (n)} \int_{\partial B(0,1) } Du(x+rz)\cdot zdS(z) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)} \int_{\partial B(x,r)} Du(y) \cdot \dfrac{y-x}{r} \dfrac{1}{r^{n-1}}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} Du(y)\cdot \dfrac{y-x}{r}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} Du(y)\cdot \boldsymbol{\nu} dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n\alpha (n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} \dfrac{ \partial u(y)}{\partial \nu}dS(y) \\ &= \dfrac{1}{n \alpha (n) r^{n-1} } \int_{B(x,r)} \Delta u dy \\ &= 0 \end{align*} $$

  ここで、$\boldsymbol{\nu}$ は外向き単位法線ベクトル だ。4番目、5番目の等式は外向き単位法線ベクトルの定義によって成り立つ。$\dfrac{y-x}{r}$ は $\partial B(x,r)$ から外を向いており、その大きさが $1$ なので、$\dfrac{y-x}{r}=\boldsymbol{\nu}$ だ。6番目の等式は グリーンの公式(i) によって成立する。最後の等式は、$u$ が $\Delta u=0$ を満たすという仮定により成立する。

  今、$\varphi^{\prime}(r)=0$ なので、$\phi (r)$ は $0<r<d_{x}$ である $r$ に対して一定だ。従って、以下が成り立つ。

  $$ \begin{align*} -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} u(y)dS(y) &= \varphi(r) = \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \varphi (t) \\ &= \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{n\alpha (n) r^{n-1}}\int _{\partial B(x,t)} u(y)dS(y) \\ &= \lim \limits_{t \rightarrow 0^+} -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,t)} u(y)dS(y)
  \\ &= u(x) \end{align*} $$

  もし $t \rightarrow 0^+$ ならば、球の直径は次第に縮小するので、その平均値は $u(x)$ となる。

• Part 2. $\int\!\!\!\!\!\!- _{B(x,r)} udx=u(x)$

  $x, d_{x}$ が **Part 1.**と同じであるとしよう。すると、$0 < r < d_{x}$ に対して以下が成立する。

  $$ \begin{align*} \int_{B(x,r)} u(y)dy &= \int_{0}^r \left( \int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds \\ &= \int_{0}^r n\alpha (n)s^{n-1}\left( \dfrac{1}{n\alpha (n)s^{n-1}}\int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds \\ &= \int_{0}^r n\alpha (n)s^{n-1}\left( -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,s)} u(y)dS(y) \right) ds
  \\ &= \int_{0}^rn\alpha (n)s^{n-1}u(x) ds
  \\ &= n\alpha (n) u(x) \int_{0}^r s^{n-1} ds \\ &= n\alpha (n) u(x) \dfrac{r^n}{n} \\ &= \alpha (n)r^n u(x) \end{align*} $$

  従って、右辺に $u$ だけを残して整理すると、以下のようになる。 $$ -\!\!\!\!\!\! \int_{B(x,r)} udy = \dfrac{1}{\alpha (n) r^n} \int_{B(x,r)} udy = u(x) $$

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