📂量子力学

규격화된 파동함수의 상태는 시간의 변화에 무관하다

定理¹

規格化された波動関数は時間が経っても規格化された状態を維持する。

説明

時間$t=0$のとき波動関数を規格化したと仮定する。この定理により、時間が経つにつれて波動関数が規格化された状態を維持することが保証される。これは波動関数を確率密度関数として扱うことを可能にする非常に重要な事実である。

証明

戦略： 時間が経っても一定であることを示すには、$\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\psi ^{\ast} (x,t) \psi (x,t) dx }$を時間で微分してその結果が$0$であることを示せばよい。即ち、${ \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{+\infty}\psi ^{\ast} \psi dx \right)=0}$であることを確認すれば証明完了である。

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$$ \begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^{\ast} (x,t) \psi ^\ (x,t) dx \right) = \int \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial t}\psi + \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) dx \end{equation} $$

このとき、シュレディンガー方程式により次が成立する。

$$ \begin{align*} && i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} +U\psi \\[1em] \implies && \frac{\partial \psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} +\frac{U\psi }{i \hbar} \end{align*} $$

すると、複素共役は次のようになる。

$$ \frac{\partial \psi ^{\ast} }{\partial t} = \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x ^2} -\frac{U^{\ast} \psi ^{\ast} }{i \hbar} $$

これを$(1)$に代入し、ポテンシャルがある項とない項に分けると次のようになる。

$$ \int \frac{\hbar}{2mi} \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx + \int \frac{1}{i\hbar}\left( \psi ^{\ast} U \psi - U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi \right) dx $$

このとき、2番目の項（ポテンシャルが含まれている項）の値が$0$である理由は次の通りである。

$$ \braket{ U } = \braket{ \psi \vert U\psi } = \int \psi ^{\ast} U \psi dx $$

$$ \braket{U} ^{\ast} = \braket{ \psi \vert U\psi }^{\ast} = \braket{ U\psi \vert \psi } = \int U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi dx $$

このときポテンシャル$U$の期待値は実数であるため、

$$ { \begin{align*} \braket{U} - \braket{U} ^{\ast} &= \int \psi ^{\ast} U \psi dx - \int U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi dx \\ &= \int \left( \psi ^{\ast} U \psi - U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi \right)dx = 0 \end{align*}} $$

そして、以下の等式を用いて1番目の項（ポテンシャルがない項）の形状を変える。

$$ \begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right) &= \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi + \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \frac{\partial \psi }{\partial x} -\frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right) \\ &= \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right) \end{align*} $$

これを代入すると、波動関数の関数値は両端で$0$なので、次の結果を得る。

$$ \begin{align*} \int \frac{\hbar}{2mi} \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi }{\partial x^2} \right) dx &= \frac{\hbar}{2mi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{2mi} \left[ \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= 0 \end{align*} $$

したがって、次の結論を得る。

$$ \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^{\ast} (x,t) \psi ^\ (x,t) dx \right) = 0 $$

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