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규격화된 파동함수의 상태는 시간의 변화에 무관하다 📂量子力学

규격화된 파동함수의 상태는 시간의 변화에 무관하다

定理1

規格化された波動関数は時間が経っても規格化された状態を維持する。

説明

時間t=0t=0のとき波動関数を規格化したと仮定する。この定理により、時間が経つにつれて波動関数が規格化された状態を維持することが保証される。これは波動関数を確率密度関数として扱うことを可能にする非常に重要な事実である。

証明

戦略： 時間が経っても一定であることを示すには、∫−∞+∞ψ∗(x,t)ψ(x,t)dx\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\psi ^{\ast} (x,t) \psi (x,t) dx }を時間で微分してその結果が00であることを示せばよい。即ち、ddt(∫−∞+∞ψ∗ψdx)=0{ \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{+\infty}\psi ^{\ast} \psi dx \right)=0}であることを確認すれば証明完了である。

ddt(∫−∞∞ψ∗(x,t)ψ (x,t)dx)=∫(∂ψ∗∂tψ+ψ∗∂ψ∂t)dx \begin{equation} \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^{\ast} (x,t) \psi ^\ (x,t) dx \right) = \int \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial t}\psi + \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial t} \right) dx \end{equation}

このとき、シュレディンガー方程式により次が成立する。

iℏ∂ψ∂t=−ℏ22m∂2ψ∂x2+Uψ  ⟹  ∂ψ∂t=−ℏ2mi∂2ψ∂x2+Uψiℏ \begin{align*} && i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} +U\psi \\[1em] \implies && \frac{\partial \psi }{\partial t} &= -\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} +\frac{U\psi }{i \hbar} \end{align*}

すると、複素共役は次のようになる。

∂ψ∗∂t=ℏ2mi∂2ψ∗∂x2−U∗ψ∗iℏ \frac{\partial \psi ^{\ast} }{\partial t} = \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x ^2} -\frac{U^{\ast} \psi ^{\ast} }{i \hbar}

これを(1)(1)に代入し、ポテンシャルがある項とない項に分けると次のようになる。

∫ℏ2mi(∂2ψ∗∂x2ψ−ψ∗∂2ψ∂x2)dx+∫1iℏ(ψ∗Uψ−U∗ψ∗ψ)dx \int \frac{\hbar}{2mi} \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx + \int \frac{1}{i\hbar}\left( \psi ^{\ast} U \psi - U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi \right) dx

このとき、2番目の項（ポテンシャルが含まれている項）の値が00である理由は次の通りである。

⟨U⟩=⟨ψ∣Uψ⟩=∫ψ∗Uψdx \braket{ U } = \braket{ \psi \vert U\psi } = \int \psi ^{\ast} U \psi dx

⟨U⟩∗=⟨ψ∣Uψ⟩∗=⟨Uψ∣ψ⟩=∫U∗ψ∗ψdx \braket{U} ^{\ast} = \braket{ \psi \vert U\psi }^{\ast} = \braket{ U\psi \vert \psi } = \int U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi dx

このときポテンシャルUUの期待値は実数であるため、

⟨U⟩−⟨U⟩∗=∫ψ∗Uψdx−∫U∗ψ∗ψdx=∫(ψ∗Uψ−U∗ψ∗ψ)dx=0 { \begin{align*} \braket{U} - \braket{U} ^{\ast} &= \int \psi ^{\ast} U \psi dx - \int U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi dx \\ &= \int \left( \psi ^{\ast} U \psi - U^{\ast} \psi ^{\ast} \psi \right)dx = 0 \end{align*}}

そして、以下の等式を用いて1番目の項（ポテンシャルがない項）の形状を変える。

∂∂x(∂ψ∗∂xψ−ψ∗∂ψ∂x)=(∂2ψ∗∂x2ψ+∂ψ∗∂x∂ψ∂x−∂ψ∗∂x∂ψ∂x−ψ∗∂2ψ∂x2)=(∂2ψ∗∂x2ψ−ψ∗∂2ψ∂x2) \begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right) &= \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi + \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \frac{\partial \psi }{\partial x} -\frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right) \\ &= \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \right) \end{align*}

これを代入すると、波動関数の関数値は両端で00なので、次の結果を得る。

∫ℏ2mi(∂2ψ∗∂x2ψ−ψ∗∂2ψ∂x2)dx=ℏ2mi∫−∞∞∂∂x(∂ψ∗∂xψ−ψ∗∂ψ∂x)dx=ℏ2mi[∂ψ∗∂xψ−ψ∗∂ψ∂x]−∞∞=0 \begin{align*} \int \frac{\hbar}{2mi} \left( \frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}\psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi }{\partial x^2} \right) dx &= \frac{\hbar}{2mi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{2mi} \left[ \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial x} \psi - \psi ^{\ast} \frac{\partial \psi }{\partial x} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= 0 \end{align*}

したがって、次の結論を得る。

ddt(∫−∞∞ψ∗(x,t)ψ (x,t)dx)=0 \frac{d}{dt} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^{\ast} (x,t) \psi ^\ (x,t) dx \right) = 0

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  1. David J. Griffiths, 量子力学(Introduction to Quantum Mechanics, 権英俊訳) (2nd Edition, 2006), p13-15 ↩︎