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フーリエ余弦級数、正弦級数、偶関数と奇関数のフーリエ係数 📂フーリエ解析

フーリエ余弦級数、正弦級数、偶関数と奇関数のフーリエ係数

定義

ffを区間[0,L)[0,L)で片わりに滑らかな関数としよう。以下で定義されるfef_{e}を区間[−L,L)[-L, L)のffの偶関数の拡張と言う。

fe(t):={f(t)−L≤t<0f(−t)0≤t<L f_{e}(t) := \begin{cases} f(t) & -L \le t <0 \\ f(-t) & 0 \le t <L\end{cases}

同様に、以下で定義されるfof_{o}を区間[−L,L)[-L, L)のffの奇関数の拡張と言う。

fo(t):={−f(−t)−L≤t<0f(t)0≤t<L f_{o}(t) := \begin{cases} -f(-t) & -L \le t <0 \\ f(t) & 0 \le t <L\end{cases}

説明

fef_{e}、fof_{o}はそれぞれffを偶関数、奇関数にするための定義域の拡張である。fef_{e}とfof_{o}を使い、ffのフーリエ級数をコサイン項またはサイン項のみを使用して表せる。

フーリエ・コサイン級数

fe(t)=12a0+∑n=1n(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L})

fef_{e}は偶関数であり、t∈[0,L)t \in [0,L)により、fe(t)=f(t)f_{e}(t)=f(t)が成り立つため、以下の式が成り立つ。

a0=1L∫−LLfe(t)dt=2L∫0Lf(t)dt a_{0}=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{e}(t)dt=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)dt

an=1L∫−LLfe(t)cos⁡nπtLdt=2L∫0Lf(t)cos⁡nπtLdt a_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\cos \frac{n \pi t}{L}dt

bn=1L∫−LLfe(t)sin⁡nπLtdt=0 b_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\sin \frac{n\pi}{L}tdt=0

したがって、fe(t)f_{e}(t)のフーリエ級数は

fe(t)=12a0+∑n=1nancos⁡nπtL f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L}

そして、t∈[0,L)t \in [0,L)により、fe(t)=f(t)f_{e}(t)=f(t)が成り立つため、

f(t)=12a0+∑n=1nancos⁡nπtL \begin{equation} f(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} \label{eq1} \end{equation}

この時、a0=2L∫0Lf(t)dta_{0}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)dt、an=2L∫0Lf(t)cos⁡nπtLdta_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\cos \frac{n\pi t}{L} dtである。式(1)(1)をffのフーリエ・コサイン級数と言う。

フーリエ・サイン級数

fo(t)=12a0+∑n=1n(ancos⁡nπtL+bnsin⁡nπtL) f_{o}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L})

fof_{o}は奇関数であり、t∈[0,L)t \in [0,L)により、fe(t)=f(t)f_{e}(t)=f(t)が成り立つため、以下の式が成り立つ。

a0=1L∫−LLfo(t)dt=0an=1L∫−LLfo(t)cos⁡nπtLdt=0bn=1L∫−LLfo(t)sin⁡nπtLdt=2L∫0Lf(t)sin⁡nπtL \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{o}(t)dt=0 \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=0 \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\sin \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\sin \frac{n \pi t}{L} \end{align*}

したがって、fo(t)f_{o}(t)のフーリエ級数は

fo(t)=∑n=1nbnsin⁡nπtL f_{o}(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L}

そして、t∈[0,L)t \in [0,L)でfo(t)=f(t)f_{o}(t)=f(t)が成り立つので、

f(t)=∑n=1nbnsin⁡nπtL \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} \label{eq2} \end{equation}

この時、bn=2L∫0Lf(t)sin⁡nπtLdtb_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\sin \frac{n\pi t}{L} dtである。式(2)(2)をffのフーリエ・サイン級数と言う。

偶関数と奇関数のフーリエ係数

以上の内容を要約すると、次のようになる。ffを区間[−L,L)[-L,L)で定義された関数としよう。ffが偶関数ならば、ffのフーリエ係数は以下の通り。

a0=2L∫0Lf(t)dtan=2L∫0Lf(t)cos⁡nπtLdtbn=0 \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \cos \frac{n \pi t}{L}dt \\ b_{n} &= 0 \end{align*}

ffが奇関数ならば、ffのフーリエ係数は以下の通り。

a0=0an=0bn=2L∫0Lf(t)sin⁡nπtLdt \begin{align*} a_{0} &= 0 \\ a_{n} &= 0 \\ b_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \sin \frac{n \pi t}{L}dt \end{align*}