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熱方程式, 拡散方程式 📂偏微分方程式

熱方程式, 拡散方程式

定義1 2

以下の偏微分方程式は、熱方程式heat equationまたは拡散方程式diffusion equationと呼ばれる。

ut=2ux2 \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

  • 空間座標がnn次元の場合、 ut=Δu=2u \dfrac{\partial u}{\partial t} = \Delta u = \nabla^{2}u ここでΔ=2=i=1n2xi2\Delta = \nabla^{2} = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i}^{2}}ラプラシアンを指す。

  • 外力forcing termf=f(x,t)f = f(x,t)がある場合、 ut=2ux2+f \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + f

  • 拡散係数diffusion coefficienta=a(x)>0a = a(x) > 0がある場合、 ut=x[a(x)ux] \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left[ a(x) \dfrac{\partial u}{\partial x} \right]

初期条件と境界条件

熱方程式では、通常、初期条件と境界条件が与えられる。初期条件だけでは解が一意に決定されない。uuΩ×[0,T]\Omega \times [0, T]で定義された関数だとすると、

initial condition : u(x,0)=g(x) on Ω×{0} \text{initial condition : } u(x, 0) = g(x) \quad \text{ on } \Omega \times \left\{ 0 \right\}

boundary condition : u(x,t)=h(x,t) on Ω×[0,T] \text{boundary condition : } u(x, t) = h(x, t) \quad \text{ on } \partial \Omega \times [0, T]

Ω\partial \OmegaΩ\Omega境界である。

説明

ラプラス方程式に時間に関する項が追加された形である。ラプラス方程式は時間の流れに無関係なので、平衡状態に関する方程式であり、熱方程式は時間の流れの影響を受けるので、何らかの物理量が流れる(拡散する)状態に関する方程式である。熱方程式という名前がついたのも、熱力学で初めて現れたからである。

導出

URnU \subset \mathbb{R}^nが開集合で、物理的な空間を意味するとする。u:U×(0, )Ru:U\times (0,\ \infty) \to \mathbb{R}をある物理量の密度関数とする。するとu(x, t)u(x,\ t)は、時刻t>0t>0での点xUx\in Uでの密度を意味する。ある開集合VVVUV \Subset UでありVCV\in C^{\infty}を満たすとする。また、F:U×(0,)Rn\mathbf{F} : U \times (0, \infty) \to \mathbb{R}^nuuフラックスfluxとする。するとuuF\mathbf{F}の間に次の式が成り立つ必要がある。

ddtVu(x,t)dx=VF(x,t)ν(x)dS(x) \dfrac{d}{dt}\int_{V}u(x,t)dx = -\int_{\partial V}\mathbf{F}(x, t) \cdot \nu (x) dS(x)

左辺は、ある空間の内部で物理量uuの変化量を述べており、右辺はその空間の境界で出入りした量を述べている。自ら生成されたり消えたりしない限り、その量は一定である。内部の物理量に変化があった場合、必ず入るものまたは出るものがあり、その両方の値は等しいということである。

簡単な例として、人々が自由に出入りできる部屋があるとしよう。部屋の中で人数の変化を数える観察者AAがいる。ドアの前に立ち、出て行く人を見るたびに+1+1を、入ってくる人を見るたびに1-1を数える観察者BBがいる。もし3人が部屋から出た場合、部屋の中でAAが測定した変化量は-3であり、ドアの前でBBが数えた数は3である。右辺にマイナス符号が付いた理由はこれである。

uC2u \in C^{2}であるため、左辺の微分を積分の内側に入れ、右辺にグリーンの定理を適用すると、次のようになる。

Vut(x,t)dx=VF(x,t)dxt>0 \int_{V} u_{t}(x,t)dx=-\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F}(x,t)dx\quad \forall t>0

したがって、次を得る。

ut=Fin U×(0,) u_{t}=-\nabla \cdot \mathbf{F}\quad \mathrm{in}\ U\times(0,\infty)

ラプラス方程式を導いたときと同じように、FFuu勾配に比例する量であるとするとF=aDu\mathbf{F}=-aDuであり、次を得る。

ut=(aDu)=aDu=aΔu u_{t}=-\nabla \cdot(-aDu)=a\nabla \cdot Du=a\Delta u

a=1a=1とすると、熱方程式を得る。


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p44 ↩︎

  2. A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations (2nd, 2009), p349-351 ↩︎