熱方程式, 拡散方程式
📂偏微分方程式熱方程式, 拡散方程式
定義
以下の偏微分方程式は、熱方程式heat equationまたは拡散方程式diffusion equationと呼ばれる。
∂t∂u=∂x2∂2u
空間座標がn次元の場合、
∂t∂u=Δu=∇2u
ここでΔ=∇2=i=1∑n∂xi2∂2はラプラシアンを指す。
外力forcing termf=f(x,t)がある場合、
∂t∂u=∂x2∂2u+f
拡散係数diffusion coefficienta=a(x)>0がある場合、
∂t∂u=∂x∂[a(x)∂x∂u]
初期条件と境界条件
熱方程式では、通常、初期条件と境界条件が与えられる。初期条件だけでは解が一意に決定されない。uがΩ×[0,T]で定義された関数だとすると、
initial condition : u(x,0)=g(x) on Ω×{0}
boundary condition : u(x,t)=h(x,t) on ∂Ω×[0,T]
∂ΩはΩの境界である。
説明
ラプラス方程式に時間に関する項が追加された形である。ラプラス方程式は時間の流れに無関係なので、平衡状態に関する方程式であり、熱方程式は時間の流れの影響を受けるので、何らかの物理量が流れる(拡散する)状態に関する方程式である。熱方程式という名前がついたのも、熱力学で初めて現れたからである。
導出
U⊂Rnが開集合で、物理的な空間を意味するとする。u:U×(0, ∞)→Rをある物理量の密度関数とする。するとu(x, t)は、時刻t>0での点x∈Uでの密度を意味する。ある開集合VがV⋐UでありV∈C∞を満たすとする。また、F:U×(0,∞)→Rnをuのフラックスfluxとする。するとuとFの間に次の式が成り立つ必要がある。
dtd∫Vu(x,t)dx=−∫∂VF(x,t)⋅ν(x)dS(x)
左辺は、ある空間の内部で物理量uの変化量を述べており、右辺はその空間の境界で出入りした量を述べている。自ら生成されたり消えたりしない限り、その量は一定である。内部の物理量に変化があった場合、必ず入るものまたは出るものがあり、その両方の値は等しいということである。
簡単な例として、人々が自由に出入りできる部屋があるとしよう。部屋の中で人数の変化を数える観察者Aがいる。ドアの前に立ち、出て行く人を見るたびに+1を、入ってくる人を見るたびに−1を数える観察者Bがいる。もし3人が部屋から出た場合、部屋の中でAが測定した変化量は-3であり、ドアの前でBが数えた数は3である。右辺にマイナス符号が付いた理由はこれである。
u∈C2であるため、左辺の微分を積分の内側に入れ、右辺にグリーンの定理を適用すると、次のようになる。
∫Vut(x,t)dx=−∫V∇⋅F(x,t)dx∀t>0
したがって、次を得る。
ut=−∇⋅Fin U×(0,∞)
ラプラス方程式を導いたときと同じように、Fがuの勾配に比例する量であるとするとF=−aDuであり、次を得る。
ut=−∇⋅(−aDu)=a∇⋅Du=aΔu
a=1とすると、熱方程式を得る。