畳み込みの定義

定義

$\mathbb{R}$ で定義された二つの関数 $f$ 、 $g$ が与えられたとする。以下の積分が存在する場合、これを二つの関数 $f$ 、 $g$ の畳み込みと呼び、 $f \ast g$ で示す。

$f \ast g(x):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(y)g(x-y)dy$

$f$ 、 $g$ が離散関数の場合、以下のように定義する。

$(f \ast g)(m)=\sum \limits_{n}f(n)g(m-n)$

説明

畳み込みという翻訳があるが、コンボリューションという言葉の方がよく使われる。一般に上記の定義をコンボリューションとして学ぶが、もう少し一般的に言うと、これは積分変換の一種であるフーリエ変換に対するコンボリューションである。交換法則、分配法則など多くの良い特性を持っているため、様々な分野で使用される。

離散畳み込みの場合、解析的数論では少し異なる定義をすることもある。

畳み込みが定義される条件は以下の通り：

(a)
$f\in L^{1}$ 、 $|g|<M$ である場合、
$\left| \int f(y)g(x-y)dy \right| \le \int \left| f(y)g(x-y) \right|dy \le M\int \left| f(y) \right|dy \lt \infty$
(b)
$\left| f \right| \le M$ 、 $g\in L^{1}$ である場合、
$\left| \int f(y)g(x-y)dy \right| \le \int \left| f(y) g(x-y) \right|dy \le M\int \left| g(x-y) \right|dy \lt \infty$
(c)
$f,g\in L^{2}$ であり、 $\tilde{g}_{x}(y)=g(x-y)$ とする。すると $\tilde{g}_{x}\in L^{2}$ 、 $\left\| g \right\|_{2}=\left\| \tilde{g}_{x} \right\|_{2}$ であり、コーシー・シュワルツの不等式により
$\begin{align*} \left| \int f(y)g(x-y)dy \right| &= \left| \int f(y)\tilde{g}_{x}(y)dy \right| \\ & = \left| \left\langle f,\tilde{g}_{x} \right\rangle \right| \\ &\le \left\| f \right\|_{2} \left\| \tilde{g}_{x} \right\|_{2} \\ &<\infty \end{align*}$
(d)
$f$ が閉区間 $[a,b]$ を除き $0$ で有界であり、 $g$ が区分的に連続である場合、
$\int _{-\infty} ^{\infty} f(y)g(x-y)dy=\int _{a}^{b}f(y)g(x-y)dy<\infty$