量子力学における運動量演算子
定義
量子力学で、運動量演算子は以下の通りだ。
$$ P = \frac{\hbar}{\i}\frac{\partial}{\partial x} = -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial x} $$
説明
運動量演算子とは波動関数の運動量を計算してくれる関数で、運動量が$p = \hbar k$の波動関数$\psi$を代入した時に次の式を満足させる関数のこと。
$$ P \psi = p \psi $$
2次元以上の場合、各方向への運動量演算子は以下の通りだ。
$$ P_{x} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\quad P_{y} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial y},\quad P_{z} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial z} $$
従って、3次元運動量演算子は、
$$ P = -\i\hbar\nabla $$
誘導
一次元で考えると、求めたい演算子は運動量が$p$の波動関数$\psi (x,t) = e^{i(kx - \omega t)}$に対して次の式を満足させる演算子だ。
$$ P \psi = p \psi $$
量子力学で運動量とエネルギーはそれぞれ$p = \hbar k$だから波動関数は、
$$ \psi (x,t) = e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} $$
ここで運動量$p$を得るには$x$で微分する。
$$ \dfrac{\partial }{\partial x} e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} = \dfrac{\i}{\hbar} p e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} $$
よって、
$$ \begin{align*} && \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} &= p e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} \\ \implies && \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} \psi (x, t) &= p \psi (x, t) \\ \implies && P = \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} \end{align*} $$
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