📂行列代数

順列行列

定義 ¹

各行で成分が一つだけ$1$で、残りがすべて$0$である正方行列$P \in \mathbb{R}^{n \times n}$を順列行列と呼ぶ。

基本的性質

直交性

すべての順列行列は直交行列である: $$P^{-1} = P^{T}$$

スパース性

十分に大きな$n$に対して、$P \in \mathbb{R}^{n \times n}$はスパース行列となる。

説明

順列行列はその名前が示す通り、行列の乗算によって行と列の順列を与える。次の例では、左側に乗算すると行の順列となり、右側に乗算すると列の順列となることがわかる。 $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = & \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = & \begin{bmatrix} a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \\ a_{32} & a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} \end{align*} $$