行列代数

線形代数の内容の中でも、行列に関する内容を中心に連立方程式、行列の対角化、行列分解、固有値問題、行列変換などを扱います。一般的なベクトル空間、線形変換などに関する内容は線形代数カテゴリーで見つけることができます。同じ内容であっても、線形代数カテゴリーの記事の方がより抽象的または難しい場合があります。ティストリーブランチの数値線形代数がこのカテゴリーに統合されました。

基礎行列代数

• ベクトルと行列の演算/表記法テーブル

行列の形態

• ベクトルの定義
• 行列の定義
• 行列の演算：スカラー倍、加算、乗算
  • 行列の内積 $\mathbf{u}^{T} \mathbf{v}$
  • 直和 $B_{1} \oplus B_{2} := \diag \begin{bmatrix} B_{1} \ B_{2} \end{bmatrix}$
  • クロネッカー積 $A \otimes B$
  • アダマール積 $A \odot B$
  • 二次行列の積の成分の和を簡単に求める公式
• 単位行列 $I, E$
• 零行列 $O$
  • 冪零行列 $A^{k} = O$
• $1$ 行列
• 正方行列
• 三角行列
  • 正方上三角行列は冪零である
  • 三角行列の行列式
• 対角行列 $\diag$
  • 対角行列積を用いた行列の行ごと、列ごとのスカラー積
  • 跡 $\tr A$
• ブロック行列 $\begin{bmatrix} A & B \ C & D \end{bmatrix}$
  • シュトラッセンのアルゴリズムの証明
• スパース行列
  • 置換行列 $P$
• ハンケル行列 $H$

行列の性質

• 逆行列 $A^{-1}$、可逆行列
  • 可逆行列であるための同値条件
  • 行列の相似
  • 擬似逆行列 $A^{\dagger}$
  • 分数関数の逆関数と二次正方行列の逆行列の形
• 転置行列 $A^{T}$
  • 対称行列 $A^{T} = A$、反対称行列 $A^{T} = -A$
• 共役転置行列 $A^{\ast}$
  • エルミート行列 $A^{\ast} = A$
  • 正規行列 $A A^{\ast} = A^{\ast} A$
  • エルミート行列の固有値は常に実数である
  • エルミート行列の異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交する
  • エルミート行列空間と正定値行列の凸錐 $\mathbb{H}{n}$、$\mathbb{P}{n}$
  • エルミート行列のレーナー順序 $A \ge B$
• 直交行列 $A^{T} = A^{-1}$
  • 直交行列の性質
  • 直交行列であるための同値条件
  • ユニタリ行列 $A^{\ast} = A^{-1}$
• 射影行列 $P^{2} = P$
  • 正射影
• 正定値行列 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ne 0$
  • 正定値行列はエルミート行列である
  • 正定値行列の逆行列と平方根行列
  • 正定値行列と拡張されたコーシー・シュワルツの不等式の証明
• 行列の指数と対数 $e^{A}$、$\log A$
• 正定値行列の実数べき $A^{t}$
  • 平方根行列 $A^{1/2} = \sqrt{A}$

連立方程式

• 連立一次方程式
• 過剰決定系と不足決定系
• 拡大行列と基本行変換
• ガウス・ジョルダンの消去法
  • ガウスの消去法で逆行列を求めるアルゴリズム
• 斉次連立一次方程式
• 基本行列
• 逆行列と連立一次方程式

行列式

• 行列式 $\det$
  • 行列式の性質
• 余因子と古典伴随行列 $\text{adj} A = C^{T}$
  • ラプラス展開
• クラメルの公式の証明
• ヴァンデルモンド行列の行列式の導出
• 三重対角行列の行列式の導出
• シャーマン・モリソンの公式の導出 $\left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)^{-1}$
  • 行列式の補助定理の証明

固有値問題

• 固有値と固有ベクトル
  • 相似な行列は同じ固有値を持つ
• 固有値の代数的重複度と幾何的重複度
  • 固有値の代数的重複度は幾何的重複度以上である
• スペクトル
  • スペクトル半径 $\rho (A)$
    • ペロン・フロベニウスの定理
• 楕円の一般化：エリプソイド

一次変換

• 行列変換
• 回転変換
  • 回転変換行列の累乗公式
  • 3次元回転変換行列：ロール、ピッチ、ヨー
• 🔒(25/02/02) アフィン変換

行列空間

• 行空間、列空間、零空間
  • 行空間、列空間、零空間の基底
  • 行列の基本空間
• ランク、欠損次元
  • 連立方程式で理解するランクと欠損次元
  • フルランク行列の性質 = $X^T X$ の逆行列が存在するための必要十分条件

数値行列代数

行列分解

• 可逆行列の固有値対角化 $A = Q^{\ast} \Lambda Q$
  • エルミート行列の固有値対角化：スペクトル理論の証明
  • スペクトル分解 $A = \sum \lambda e e^{T}$
• 正定値行列のコレスキー分解
  • コレスキー分解の一意性の証明
• 可逆行列のLU分解 $A = LU$
  • PLU分解 $A = PLU$
• 対称行列のLDU分解 $A = LDL^{T}$
• 正方行列のシュール分解 $A = QTQ^{\ast}$
• 行列の特異値分解 SVD
  • 全特異値分解の存在性の証明
• 行列のQR分解

最小二乗法

• フロベニウスノルム $\left| \cdot \right|_{F}$
• 最小二乗法
  • 特異値分解を用いた最小二乗法
  • コレスキー分解を用いた最小二乗法
  • QR分解を用いた最小二乗法

주요 참고문헌

• Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002)
• 김상동. (2012). 수치행렬해석
• Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019)