抽象代数

代数学^Algebraは、現実世界の問題を解決するために必要だった実用的な技術であった。現代数学では純粋数学の大きな枝の一つとして、今でも暗号理論やトポロジカルデータ分析などの実用的な分野にも応用されている。普通の数学者であれば代数を知らなくても他の勉強が全くできないわけではないが、代数を知っていれば悩む必要のない問題や概念が意外と多い。代数学が得意かどうかにかかわらず、数学界の常識とも言える科目なので、事実中心にでも勉強しておくことを強く推奨する。

二項演算構造

• 二項演算 $\ast$
• 同型写像
• 様々な写像
• 零因子 $0$

群論

• 半群
• モノイド
• 群 $G$
  • 左右のキャンセル法則
  • 単位元と逆元の一意性
  • 靴下-靴の性質 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
  • 交換子 $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$
• 可換群

巡回群

• 巡回群 $\left< a \right>$
  • すべての巡回群は可換群である
  • 巡回群の部分群は巡回群である
  • すべての巡回群は整数群と同型である
• クラインの四元群 $V$

対称群

• 対称群 $S_{A}$
  • 二面体群 $D_{n}$
  • 偶置換でありながら奇置換であるものは存在しない
• ケイリーの定理
• 軌道、巡回、互換
• 交代群 $A_{n}$

商群

• 部分群の定義と部分群判定法
• 剰余類と正規部分群 $H \triangleleft G$
  • 剰余類の性質
• ラグランジュの定理
• 群のデカルト積
• 核、カーネル $\ker$
• 商群 $G/H$

リー群

• リー群
• 一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$
• 特殊線形群 $\mathrm{SL}(n)$
• 直交群 $\mathrm{O}(n)$
• ユニタリ群 $\mathrm{U}(n)$
• 特殊ユニタリ群 $\mathrm{SU}(n)$

群の作用

• 群の作用
• 等方部分群 $G_{x}$
• バーンサイドの公式
• $p$-群
• コーシーの定理
• シローの定理

同型定理

• 第1同型定理
• 第2同型定理
• 第3同型定理

環論

• 環 $R$
  • 環における乗法に関する規則
  • 交換子 $[a,b] = ab - ba$
  • ヤコビ恒等式 $a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) = 0$
• ブール環
  • 環の零因子が冪等元なら直和で表せる
• ネーター環
• 二重数
  • 이원수 환 위에서 정의되는 미분가능한 실함수

多項式

• 多項式の環 $F [ x ]$
• 多項関数の零点
• 除法の定理
• 因数定理
• 多項関数の既約元
  • アイゼンシュタインの判定法

イデアル

• 部分環の定義と部分環判定法
• イデアル $I$
  • 単元を持つイデアル
• 極大イデアル $M$
• 素イデアル $P$
• 主イデアル $\left< a \right>$
• 根基とニル根基 $\text{rad}$, $\text{nil}$

整域

• 零因子と整域 ID
• 主イデアル整域 PID
• 一意分解整域 UFD $\gcd$
• ユークリッド整域 ED
• 整域のノルム
• ベズー整域

加群

• R-加群
• F-ベクトル空間
• グレーデッド加群

代数的微分

• 分数環と分数体
• 微分環 $\left( R, d \right)$
• 微分体 $\left( F, \partial \right)$
• 常微分環と偏微分環 $\left( R , \Delta \right)$

体論

• 体 $F$
• 拡大体とクロネッカーの定理 $F \le E$
• 単純拡大体 $E = F \left( \alpha \right)$
  • 実数体から複素数体を作り出す代数的方法 $\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> \simeq \mathbb{C}$
• 抽象代数学におけるベクトル空間
• 代数的拡大体
• 抽象代数の用語で表された代数学の基本定理
• 素体 $\mathbb{Z}_{p}$, $\mathbb{Q}$
• 共役同型写像定理
• 体の自己同型写像 $\text{Auto}$

3大作図不可能問題

• 代数的数と超越数
• 作図可能数
• 3大作図不可能問題

ガロア理論

• 最小分解体
• 可分拡大体
• ガロア体 $\text{GF} \left( p^{n} \right)$
• ガロア理論
• 3次方程式の根の公式の導出をただひたすらにフォローする
• 3次方程式の根の公式
• 2次/3次/n次方程式の根と係数の関係

主要参考文献

• Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition)
• Sze-Tsen Hu. (1968). Introduction to Homological Algebra
• Hatcer. (2002). Algebraic Topology