微分方程式

基礎

• 微分方程式の定義と例
• 微分方程式の分類

1階微分方程式

線形微分方程式

• 分離可能な微分方程式
• 完全微分方程式の定義と判別法
  • 完全微分方程式の解法
• 積分因子法
• 同次関数と微分方程式
• 定数係数を持つ1階線形同次微分方程式
• オイラー微分方程式
  • 非同次オイラー微分方程式
• ピカールの方法
• 1階常微分方程式の初期値問題に対する解の存在性と一意性

非線形微分方程式

• ベルヌーイ微分方程式
• リカッチ微分方程式
• クレロー微分方程式

2階線形微分方程式

同次方程式

• 同次微分方程式での同次の意味
• 定数係数の2階線形同次微分方程式と特性方程式
• 線形同次微分方程式の解の線形結合も解である
• 2階線形同次微分方程式の解の基本集合とロンスキアン
• 2階線形微分方程式の二つの解のロンスキアン
• 2階線形同次微分方程式の解法
• 2階微分方程式の第二の解を求める方法

非同次方程式

• 2階線形非同次微分方程式の一般解

2階線形微分方程式の級数解

• 級数解を用いた微分方程式の解法
• フロベニウス法
• ベッセル微分方程式の級数解：第一種ベッセル関数
• ベッセル微分方程式の第二の級数解：第二種ベッセル関数、ノイマン関数、ウェーバー関数
• ベッセル関数が解である微分方程式
• チェビシェフ微分方程式の級数解：チェビシェフ多項式
• チェビシェフ微分方程式とチェビシェフ多項式
• ルジャンドル微分方程式の級数解：ルジャンドル多項式
• 関連ルジャンドル微分方程式の級数解
• ルジャンドル微分方程式の三角関数形
• エルミート微分方程式の級数解：エルミート多項式
• ラゲール微分方程式の級数解
• エアリー微分方程式の級数解

ラプラス変換

• ラプラス変換の定義と存在性
• ラプラス変換の線形性
• ラプラス変換を用いた2階線形非同次微分方程式の解法
• ラプラス変換の畳み込み

複数の関数のラプラス変換

• ラプラス変換表
• 定数関数
• 指数関数
• 三角関数
• 双曲関数
• 多項関数
• 1次導関数
• n次導関数
• 階段関数
• $\cal{L}\left\{ e^{ct}f(t) \right\}$: ラプラス変換の平行移動
• $\cal{L}\left\{ f(ct) \right\}$: ダイレーションのラプラス変換
• $\cal{L}^{-1} \left\{ F(ks) \right\}$: ダイレーションのラプラス逆変換
• $\cal{L}^{-1} \left\{ F(as+b) \right\}$
• 周期関数
• ディラックのデルタ関数
• $\cal{L}\left\{ t^{n}f(t) \right\}$

連立1階線形微分方

程式

• 1階線形微分方程式システム
• ピカールの定理

主要参考文献

• Mary L. Boas, 数理物理学(Mathematical Methods in the Physical Sciences, 最重近 譯) (第3版, 2008)
• William E. Boyce, Boyceの基礎微分方程式および境界値問題 (第11版, 2017)