バナッハ空間

ノルム空間^{normed space}とバナッハ空間^{Banach space}を扱う。

ノルム空間

• ノルム空間の定義
  • セミノルム
• 有界部分集合
• 数列の収束
• ノルムは連続写像である
• 一様凸性
• 稠密な部分集合と閉包
• 等距離写像
• 埋め込み、包含写像
  • すべての等距離写像は埋め込みである
  • 自然な埋め込みと反射的空間
• リースの補助定理の証明
• リースの定理の証明

有限次元

• 有限次元ベクトル空間のハメル基底
• 有限次元ノルム空間は基底を持つ
• 有限次元ベクトル空間上で定義されたすべてのノルムは同値である
• 有限次元ノルム空間は完備性を持つ

級数

• 級数、スパン、全系列
• 無限次元ベクトル空間のシャウダー基底

作用素

• 作用素の定義
  • 積分作用素
• 線形作用素の性質
• ハーン-バナッハ拡張定理
  • 実数、複素数、セミノルムに対するハーン-バナッハ定理

有界線形作用素

• 性質
• 拡張定理

コンパクト作用素

• コンパクト作用素
• コンパクト条件

バナッハ空間

• バナッハ空間の定義
• フレシェ微分
  • 連鎖律
• バナッハの不動点定理の証明

$\ell^{p}$ 空間

• $\ell^{p}$ 空間
• $p \to \infty$のとき$p-$ノルムは最大ノルムになる

主要参考文献

• Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989)
• Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003)
• Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010)