微分積分学

基礎

• パラメトリック方程式

微分

• 滑らかな関数
• 逆三角関数の微分法
• 双曲関数の微分法
• ロルの定理
• 平均値の定理
• テイラーの定理
  • テイラーの定理の剰余項
• コーシーの平均値の定理
• ダルブーの中間値の定理
• ロピタルの定理
• フェルマーの定理

積分

• 分割積分法で求めた面積と定積分の関係
• 微積分学の基本定理
• フビニの定理
• グリーンの定理

積分の応用

• 曲線の長さ
• スカラー場の線積分
• ベクトル場の線積分

級数

• 級数の収束性質
• 無限級数が収束するなら、無限数列は0に収束する
• 幾何級数 $\displaystyle \sum ar^{n}$
• $p$-級数と$p$-級数判定法 $\displaystyle \sum \frac{1}{n^{p}}$
• 調和級数 $\displaystyle \sum \frac{1}{n}$
  • 調和級数の発散性に関するオイラーの証明
• 交代級数 $\displaystyle \sum (-1)^{n-1}b_{n}$
• 交代調和級数 $\displaystyle \sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$
  • 自然対数の級数形式の導出と交代調和級数の収束性
• 解析学における様々な級数判定法の総まとめ
  • 発散判定法
  • 積分判定法
  • 比較判定法
  • 極限比較判定法
  • 交代級数 判定法
  • ダランベールの収束判定法
  • コーシーの冪根判定法
• 級数の絶対収束と条件収束
• テイラー級数とマクローリン級数
  • 関数と関数のテイラー級数が同じになる条件
  • テイラー級数の応用
  • $e^x, \sin x, \cos x$ のテイラー展開
  • $\arctan x$ の級数展開
• 微積分学におけるオイラーの公式

主要参考文献

• James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E)