📂Quantum Mechanics

The minimum energy of a hydrogen atom in quantum mechanics

정리

수소원자의 최소 에너지는 다음과 같다.

$$E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha^{2}$$

$m$은 수소원자의 질량, $c$는 광속, $\alpha$는 미세구조상수이다.

설명

여기서 $\alpha$는 $\alpha = \dfrac{e^2}{\hbar c}$으로 정의되는 미세구조 상수이며 그 값은 $\alpha\simeq\dfrac{1}{137}$이다.

증명

수소 원자의 에너지 $E$는

$$\begin{align*} E &= \frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{r} \\ &= \frac{1}{2m}\frac{{\hbar}^2}{r^2}-\frac{e^2}{r} \end{align*}$$

불확정성 원리에 의해 $$pr \simeq \hbar$$ $E$가 최소일 때를 구하려면 $$\left. \frac{\partial E}{\partial r} \right|_{r=r_{0}}=0 -\frac{{\hbar}^2}{m{r_{0}}^3}+\frac{e^2}{{r_{0}}^2}=0 -\frac{{\hbar}^2}{m}+e^2r_{0}=0 r_{0}=\frac{{\hbar}^2}{me^2}$$

$$\begin{align*} \implies E_{min} &= \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{m^2e^4}{{\hbar}^4}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= \frac{me^4}{2{\hbar}^2}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= -\frac{1}{2}\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= -\frac{1}{2}\frac{me^4{\color{blue}{c^2}}}{{\hbar}^2{\color{blue}{c^2}}} \\ &= -\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2 \end{align*}$$

그러므로 수소원자의 최소 에너지는

$$E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2$$

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