📂Linear Algebra

Necessary and Sufficient Conditions for Linear Functionals to be Continuous

Theorem¹

The linear functional $f$ is continuous. $\iff$ $\ker(f)$ is a closed set in $X$.

Here, $\mathcal{N} (f) = \ker (f) = \left\{ x \in X \ | \ f(x) = 0 \right\}$ is the kernel of the linear transformation $f$.

Proof

Strategy: $(\implies)$ Direct deduction by the definition of the kernel. $(\impliedby)$ The necessary and sufficient condition for the continuity of a linear operator is boundedness. Showing that $f$ is bounded is relatively easy.

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• $(\implies)$

  If we say $x \in \overline { \ker (f) }$, when $n \to \infty$ then there exists a sequence $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ of $\ker (f)$ such that $x_{n} \to x$. Since $f$ is continuous, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(x)$ and since $x_{n} \in \ker (f)$,

  $$0 = \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(X)$$

  Meaning $x \in \ker (f)$, hence

  $$\overline{ \ker (f) } \subset \ker (f)$$

  Of course, since $\ker (f) \subset \overline { \ker (f) }$ then $\ker (f) = \overline { \ker (f) }$, and therefore $\ker (f)$ is a closed set in $X$.

• $(\impliedby)$

  If we assume $\| f \| = \infty$,

  $$\| y_{n} \| = 1$$

  $$\lim_{n \to \infty } |f(y_{n} ) | = \infty$$

  There exists a sequence $\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ of $X$ that satisfies it.

  Meanwhile, since $f \ne 0$, there exists $x_{0} \in X$ such that $f( x_{0 } ) \ne 0$. Now, if we set $\displaystyle e: = {{x_{0}} \over { f ( x_{0} ) }}$,

  $$f(e) = 1$$

  By defining a new sequence $\displaystyle z_{n} : = f(e) - {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }}$,

  $$f(z_{n} ) = f(e) - {{ f ( y_{n} ) } \over { f(y_{n}) }} = 0$$

  Therefore, when $z_{n } \in \ker (f)$ $n \to \infty$ then $\displaystyle \| z_{n} - e \| = \left\| {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }} \right\| = \| {{ 1 } \over { f(y_{n}) }} \| \left\| y_{n} \right\| \to 0$,

  $$z_{n} \to e$$

  Consequently, $e \in \ker (f)$ and $1 = f(e) = 0$, which is a contradiction.

  Properties of linear operators

  $T$ is continuous $\iff$ $T$ is bounded

  Saying $\| f \| < \infty$ means that $f$ is bounded, and therefore, $f$ is continuous.

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整理¹

線形汎関数$f$が連続である。$\iff$$\ker(f)$は$X$で閉集合である。

ここで、$\mathcal{N} (f) = \ker (f) = \left\{ x \in X \ | \ f(x) = 0 \right\}$は線形変換$f$のカーネルである。

証明

戦略: $(\implies)$カーネルの定義に従って直接演繹する。$(\impliedby)$線形作用素の性質によれば、連続性の必要十分条件は有界性である。$f$が有界であることを示すのは比較的容易だ。

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• $(\implies)$

  $x \in \overline { \ker (f) }$とすると、$n \to \infty$の時$x_{n} \to x$である$\ker (f)$の数列$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が存在する。$f$は連続であるから、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(x)$であり、$x_{n} \in \ker (f)$であるから、

  $$0 = \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(X)$$

  つまり$x \in \ker (f)$であるため、

  $$\overline{ \ker (f) } \subset \ker (f)$$

  もちろん$\ker (f) \subset \overline { \ker (f) }$であるから$\ker (f) = \overline { \ker (f) }$であり、したがって$\ker (f)$は$X$で閉集合である。

• $(\impliedby)$

  $\| f \| = \infty$と仮定すると、

  $$\| y_{n} \| = 1$$

  $$\lim_{n \to \infty } |f(y_{n} ) | = \infty$$

  を満たす$X$の数列$\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が存在する。

  一方$f \ne 0$であるから、$f( x_{0 } ) \ne 0$である$x_{0} \in X$が存在するだろう。ここで$\displaystyle e: = {{x_{0}} \over { f ( x_{0} ) }}$と置くと、

  $$f(e) = 1$$

  新たに数列$\displaystyle z_{n} : = f(e) - {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }}$を定義すると、

  $$f(z_{n} ) = f(e) - {{ f ( y_{n} ) } \over { f(y_{n}) }} = 0$$

  だから、$z_{n } \in \ker (f)$$n \to \infty$の時$\displaystyle \| z_{n} - e \| = \left\| {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }} \right\| = \| {{ 1 } \over { f(y_{n}) }} \| \left\| y_{n} \right\| \to 0$であるため、

  $$z_{n} \to e$$

  よって$e \in \ker (f)$であり、$1 = f(e) = 0$であるがこれは矛盾である。

  線形作用素の性質

  $T$は連続$\iff$$T$は有界

  $\| f \| < \infty$ということは、つまり$f$が有界であることであり、したがって$f$は連続である。

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