📂Quantum Mechanics

Matrix Representation of the Harmonic Oscillator Operator

Explanation

Harmonic

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The Schrödinger equation is a linear equation, so a linear combination of multiple wavefunctions that satisfy the equation also satisfies the equation. If the eigenfunctions of each state of the harmonic oscillator are $\ket{\psi_{0}}$, $\ket{\psi_{1}}$, $\cdots$, and $|\psi_{n}>$, a linear combination of these eigenfunctions, $\ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}>$, is also a solution to the Schrödinger equation. (This does not mean it is an eigenfunction. Generally, a linear combination of eigenfunctions is not an eigenfunction.) Let the basis $\mathrm{basis}$ be $(\psi_{0},\ \psi_{1},\cdots , \psi_{n})$ and sequence them starting from the ground state. Then the eigenfunctions from the ground state can be represented by the following matrix:

$$\ket{\psi_{0}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \ket{\psi_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, |\psi_{n}> = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$$

For those unfamiliar with linear algebra, consider how each unit vector is expressed in the Cartesian coordinate system. $\hat{\mathbf{x}} = (1,\ 0,\ 0)$, $\hat{\mathbf{y}} = (0,\ 1,\ 0), \hat{\mathbf{z}} = (0,\ 0,\ 1)$$

따라서 각 고유함수들의 선형결합인 $\ket{\psi}$는 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있다.

$$\ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}> = \begin{pmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix}$$

사다리 연산자의 행렬 표현을 구하기에 앞서 간단한 예시로 그 원리를 설명하겠다.임의의 $2\times 2$행렬인 $A$가 있다.이 행렬의 성분을 모르기에 아래와 같이 표현하자.$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$이 행렬의 1행 1열 성분을 뽑아내는 방법은 앞뒤로 두 행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$을 곱하는 것이다.$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = a$ 같은 방법을 써서 각 성분을 구하는 과정은 아래와 같다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = b$$

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = c$$

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = d$$

이 원리를 이해했다면 이제 본격적으로 조화진동자의 사다리 연산자의 행렬표현을 구해보자.이제부터 조화 진동자의 고유 함수를 간단하게 $\psi_{n}> \equiv |n>$으로 표시하겠다.그러면 고유함수와 사다리 연산자의 관계식을 다음과 같이 쓸 수 있다.$a_{+}|n>= \sqrt{n+1}|n>$이를 이용하여 $a_{+}$의 각 성분을 구할 수 있다.조화 진동자의 상태는 $n=0$부터 시작함에 주의하자.또한 $\braket{m | n}=\delta_{mn}$를 이용하면 $\braket{n+1 | a_{+}|n}$일 때만 행렬의 성분이 존재함을 알 수 있다.다른 성분은 전부 $0$이다.예를 들어 $\braket{1 | a_{+}|1}=\braket{1 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{1 | 2}=0$$\braket{2 | a_{+}|1}=\braket{2 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{2 | 2}=\sqrt{2}$ $0$If we only find the non-zero components$\braket{1 | a_{+}|0}=1$$\braket{2 | a_{+}|1}=\sqrt{2}$$\braket{3 | a_{+}|2}=\sqrt{3}$ $\vdots$$\braket{n+1 | a_{+}|n}=\sqrt{n+1}$ Thus, the matrix of $a_{+}$ has non-zero value $\sqrt{n+1}$ at row $(n+2)$ and column $(n+1)$ (Remember again that the state of the harmonic oscillator starts from $n=0$).$a_{+}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ In the same way, the matrix representation of $a_{-}$ can also be obtained. The process is omitted; try it yourself. It can be seen that the matrix representation$a_{-}=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ also satisfies $(a_{+})^{\ast}=a_{-}$. The Hamiltonian of the harmonic oscillator $H$ can also be represented as a matrix. Knowing $H|n>=(n+\frac{1}{2})\hbar w|n>$, if we use the same method as above$H=\hbar w\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$, again, the process is omitted, so try it yourself.