logo

For any arbitrary operator, always in the Hermitian form 📂Quantum Mechanics

For any arbitrary operator, always in the Hermitian form

공식

임의의 연산자 AA에 대해서 아래의 꼴은 항상 에르미트 연산자이다.

A+A(1) A + A^{\dagger} \tag{1}

i(AA)(2) \i (A - A^{\dagger}) \tag{2}

AA(3) A A^{\dagger} \tag{3}

증명

원래의 식에 켤레전치 ^{\dagger}를 취해도 원래의 모양임을 보이면 증명 끝.

(1)

(A+A)=A+(A)=A+A=A+A (A+A^{\dagger})^{\dagger}=A^{\dagger}+{(A^{\dagger})}^{\dagger}=A^{\dagger}+A=A+A^{\dagger}

(2)

[i(AA)]=i[A(A)]=i(AA)=i(AA) [\i(A-A^{\dagger}) ]^{\dagger} = -\i\left[ A^{\dagger}-{(A^{\dagger})}^{\dagger} \right] = -\i(A^{\dagger}-A) = \i(A-A^{\dagger})

(3)

(AA)=(A)A=AA (AA^{\dagger})^{\dagger}={(A^{\dagger})}^{\dagger} A^{\dagger}=AA^{\dagger}