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Proof that the expectation eigenvalue of a Hermitian operator is always real 📂Quantum Mechanics

Proof that the expectation eigenvalue of a Hermitian operator is always real

정리

에르미트 연산자의 기댓값은 항상 실수이다.

증명

AA를 에르미트 연산자라고 하자. AA의 기댓값은

⟨A⟩=∫ψ∗Aψdx=⟨ψ∣Aψ⟩ \braket{A \rangle = \int \psi^{\ast}A\psi dx = \langle \psi | A\psi}

실수임을 보이려먼 ⟨ψ∣Aψ⟩−⟨ψ∣Aψ⟩∗=0\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=0임을 보이면 된다.

⟨ψ∣Aψ⟩∗=⟨Aψ∣ψ⟩=∫(Aψ)∗ψdx=∫ψ∗A∗ψdx=∫ψ∗Aψdx=⟨ψ∣Aψ⟩\begin{align*} \braket{\psi | A\psi}^{\ast} &= \braket{A\psi | \psi} \\ &= \int (A\psi)^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast}A^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast} A \psi dx \\ &= \braket{\psi | A \psi} \end{align*}

따라서

⟨ψ∣Aψ⟩−⟨ψ∣Aψ⟩∗=⟨ψ∣Aψ⟩−⟨ψ∣Aψ⟩=0 \braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}=0

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