📂Topological Data Analysis

Proof of the Fundamental Theorem of Finitely generated Abelian groups

Theorem

A finitely generated free group $G$ that is an Abelian group, and let $T \subset G$ be the torsion subgroup of $G$.

• (1): There exists a free Abelian group $H \subset G$ with finite rank $\beta \ge 0$ satisfying the following: $$ G = H \oplus T $$
• (2): Let $T_{i}$ be a finite cyclic group of order $t_{i} > 1$. Then there exists $T_{1} , \cdots , T_{k}$ satisfying the following with $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$: $$ T = T_{1} \oplus \cdots \oplus T_{k} $$
• (3): $\beta$ and $t_{1} , \cdots , t_{k}$ are uniquely determined by $G$.

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• $a \mid b$ means that $a$ is a divisor of $b$.

Description

As one can guess from the naming Fundamental Theorem, the fundamental theorem of finitely generated Abelian groups is extremely important in abstract algebra, especially given that the generators are finite, creating an intersection with topology.

• It is known from the properties of direct sum that the quotient group of $G$ and $T$ is $G / T \simeq H$.
• Although in (3) $\beta, t_{1} , \cdots , t_{k}$ is said to be unique, be aware that it does not say $H, T_{1} , \cdots , T_{k}$ is unique.

Example

For example, if $G = \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}^{3}$, then $T = Z_{12}$ is the torsion subgroup of $G$.

• (1) There exists a free Abelian group $H = \mathbb{Z}^{3}$ with finite rank $\beta = 3$.
• (2) With $t_{1} = 2$ and $t_{2} = 6$ as the order, $T_{1} = Z_{2}$ and $T_{2} = Z_{6}$ satisfy the following with $t_{1} \mid t_{2}$: $$ T = Z_{12} = Z_{2} \oplus Z_{6} = T_{1} \oplus T_{2} $$

Betti Numbers and Torsion Coefficients

In (1), the finite rank $\beta$ discussed is called the Betti Number of $G$, and the $t_{1} , \cdots , t_{k}$s in (2) are called the Torsion Coefficients of $G$. Since these are uniquely determined according to (3), it might be conceivable that the finitely generated Abelian group $G$ could be summarized with $k+1$ natural numbers.

Proof ¹

(1), (2)

Let the finite set $S = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ be the set of generators of $G$, and let $F := F[S]$ be the free Abelian group generated by $S$. If $\lambda : F \to G$ is the map that sends $g_{i} \in F$ to $g_{i} \in G$ itself, it can be extended into a surjective homomorphism.(This is guaranteed by the assumption that $G$ is finitely generated. As there are finitely many generators of $G$ that do not belong to $S$, there exist only countably finite possibilities, which can somehow be corresponded.)

The First Isomorphism Theorem: If a homomorphism $\phi : G \to G'$ exists $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$

If we let $R := \ker \lambda$, since $\lambda$ is surjective, it means $\lambda (G) = G$, and because $R$ is the kernel of $\lambda$, according to the First Isomorphism Theorem, it is $F / R \simeq G$.

Subgroups of Free groups: Let $F$ be a free Abelian group.

• [1]: Every subgroup $R$ of $F$ is a free group.
• [2]: If $F$ has rank $n$, the subgroup $R \subset F$ of $F$ is a free Abelian group of rank $r \le n$.
• [3]: Moreover, there exist a basis $e_{1} , \cdots , e_{n}\in F$ of $F$ and natural numbers $t_{1} , \cdots , t_{k}$ that satisfy the following three conditions:
  • (i): $k \le r$, and for all $i$, $t_{i} > 1$ holds.
  • (ii): $t_{1}e_{1} , \cdots , t_{k}e_{k} , e_{k+1} , \cdots , e_{r}$ is the basis of $R$.
  • (iii): $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ holds. That is, $t_{i}$ divides $t_{i+1}$.

Apart from the discussion via $S = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n}$, since $F$ is a free Abelian group, we can freely choose a new basis for $F$ and $R$ that applies the [3] of the auxiliary theorem mentioned above without any hassle. $F$ consists of infinite cyclic groups $F_{i} := \left< e_{i} \right>$ of generators $e_{i}$ as follows $$ F = F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} $$ and $R$ is for $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ in terms of $\left\{ t_{i} > 1 \right\}_{i=1}^{k}$ as follows. $$ R = t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} $$

Properties of Direct Sum: Let’s say $G = G_{1} \oplus G_{2}$. If $H_{1}$ is a subgroup of $G_{1}$, and $H_{2}$ is a subgroup of $G_{2}$, then $H_{1}$ and $H_{2}$ can also be represented as a direct sum, especially the following holds. $$ {{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }} $$

$t_{i} F_{i} \subset F_{i}$ being subgroups of respectively $F_{i}$, $$ \begin{align*} F / R =& {{ F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} } \over { t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} }} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] \oplus \left[ {{ F_{k+1} } \over { F_{k+1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{r} } \over { F_{r} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \end{align*} $$

exists. [ NOTE: $k \le r \le n$ is used to represent the subscript, and the Betti number is not $n - k$ but $n - r$. To find the Betti number, it’s not enough just to count the torsion coefficients. ] Meanwhile, since it was $F / R \simeq G$, an [isomorphism] $$ f : G \to \left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right) \oplus \left( Z \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \right) $$ exists. The torsion subgroup $T$ of $G$ must correspond to $\left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right)$ due to $f$, with the torsion subgroup maintained.

(3)

The uniqueness is self-evident due to the uniqueness of the Smith Normal Form.

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概要

有限生成フリーグループ $G$ がアーベリアングループであり、$T \subset G$を$G$ のトーショングループとしよう。

• (1): 有限のランク $\beta \ge 0$ を持ち、以下を満たすフリーアーベリアングループ $H \subset G$ が存在する。 $$ G = H \oplus T $$
• (2): オーダー$t_{i} > 1$ の有限巡回群を$T_{i}$とし、$t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ と以下を満たす $T_{1} , \cdots , T_{k}$ が存在する。 $$ T = T_{1} \oplus \cdots \oplus T_{k} $$
• (3): $\beta$ と$t_{1} , \cdots , t_{k}$ は$G$ によって一意に決定される。

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• $a \mid b$は、$a$ が$b$ の約数であることを意味する。

説明

基本定理という名前から推測できるように、有限生成アーベリアングループの基本定理は抽象代数において非常に重要であり、特に生成元が有限であるという点でトポロジーとの接点が生じる。

• 直和の性質から $G$ と$T$ の商群は$G / T \simeq H$であることがわかる。
• (3)では$\beta, t_{1} , \cdots , t_{k}$が一意であるとしたが$H, T_{1} , \cdots , T_{k}$が一意であるとは言っていなかったことに注意。

例

例えば、$G = \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}^{3}$ならば、$T = Z_{12}$は$G$のトーショングループである。

• (1) 有限ランク$\beta = 3$のフリーアーベリアングループ $H = \mathbb{Z}^{3}$が存在する。
• (2) $t_{1} = 2$であり$t_{2} = 6$をオーダーとする$T_{1} = Z_{2}$と$T_{2} = Z_{6}$は$t_{1} \mid t_{2}$と以下を満たす。 $$ T = Z_{12} = Z_{2} \oplus Z_{6} = T_{1} \oplus T_{2} $$

ベッチ数とトーション係数

(1)で言及される有限ランク$\beta$は$G$のベッチ数と呼ばれ、(2)の$t_{1} , \cdots , t_{k}$は$G$のトーション係数と呼ばれる。これは(3)に従って一意に決定されるため、有限生成アーベリアングループ$G$が$k+1$個の自然数で要約されるかもしれないと考えることができる。

証明 ¹

(1), (2)

有限集合 $S = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ を$G$ の生成元の集合とし、$F := F[S]$ を$S$ で生成されるフリーアーベリアングループとする。$\lambda : F \to G$が$g_{i} \in F$を$g_{i} \in G$ そのものに送る写像である場合、全射のホモモルフィズムに拡張することができる。（これは$G$が有限生成であるという仮定によって保証される。$S$に属していない$G$の生成元も有限に存在するため、数え切れないほどの場合の数が存在し、何とか対応させることができる。）

第1同型定理: 準同型写像$\phi : G \to G'$が存在する場合 $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$

$R := \ker \lambda$とすると、$\lambda$が全射であるため$\lambda (G) = G$であり、$R$が$\lambda$のカーネルであるため、第1同型定理により$F / R \simeq G$である。

フリーグループのサブグループ: $F$ がフリーアーベリアングループであるとする。

• [1]: $F$ の全てのサブグループ $R$ はフリーグループである。
• [2]: もし$F$がランク$n$であるなら、$F$ のサブグループ$R \subset F$はランク$r \le n$のフリーアーベリアングループである。
• [3]: その上で、以下の三つの条件を満たす$F$の基底 $e_{1} , \cdots , e_{n}\in F$ と自然数$t_{1} , \cdots , t_{k}$が存在する。
  • (i): $k \le r$であり、全ての$i$に対して$t_{i} > 1$である。
  • (ii): $t_{1}e_{1} , \cdots , t_{k}e_{k} , e_{k+1} , \cdots , e_{r}$は$R$の基底である。
  • (iii): $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$である。つまり、$t_{i}$は$t_{i+1}$を割り切る。

ここまで、$S = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n}$を通じて議論したこととは別に、$F$はフリーアーベリアングループであるため、上記の補助定理の[3]が適用された$F$と$R$の基底を新たに気軽に選ぶことができる問題は何もない。$F$は、生成元$e_{i}$を持つ無限巡回群 $F_{i} := \left< e_{i} \right>$たちの直和として次のようである $$ F = F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} $$ そして、$R$は$t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$である$\left\{ t_{i} > 1 \right\}_{i=1}^{k}$について次のようである。 $$ R = t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} $$

直和の性質: $G = G_{1} \oplus G_{2}$としよう。もし$H_{1}$が$G_{1}$の部分群で、$H_{2}$が$G_{2}$の部分群であれば、$H_{1}$と$H_{2}$もまた直和として表すことができ、特に以下が成り立つ。 $$ {{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }} $$

$t_{i} F_{i} \subset F_{i}$がそれぞれ$F_{i}$の部分群であるため、 $$ \begin{align*} F / R =& {{ F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} } \over { t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} }} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] \oplus \left[ {{ F_{k+1} } \over { F_{k+1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{r} } \over { F_{r} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \end{align*} $$

である。[ 注: 下付き文字を示すために$k \le r \le n$が使用され、ベッチ数は$n - k$ではなく$n - r$である。ベッチ数を求めるには、トーション係数の数を求めるだけでは足りない。] 一方で、$F / R \simeq G$であり、[同型写像] $$ f : G \to \left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right) \oplus \left( Z \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \right) $$ が存在する。$G$のトーショングループ$T$は$f$によって$\left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right)$に対応しなければならず、トーショングループは保持される。

(3)

スミス標準形の一意性により自明である。

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