📂Calculus

p-series and p-series test

정의¹

다음과 같은 급수를 $p$-급수라고 한다.

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}} $$

설명

역제곱수의 무한합에 대한 일반화이다. 아래에서 소개할 판정법은 $p$-급수에 대해서만 쓸 수 있지만, 조건과 결과가 매우 간단 명료하다.

$p$-급수 판정법

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}$는 $p \gt 1$일 때 수렴하고, $p \le 1$일 때 발산한다.

증명

$f(x) = \dfrac{1}{x^{p}}$라고 하자. 그러면 $f(n) = \dfrac{1}{n^{p}}$이고 $f$는 $[1, \infty)$에서 연속이며 감소 한다. 따라서 적분판정법을 사용할 수 있다.

적분 판정법

$$ \int_{1}^{\infty} f(x) dx \text{ is convergent} \iff \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent} $$

적분 판정법에 의해 적분 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{p}}dx$가 수렴하려면 $p$-급수도 수렴하고, 적분이 발산하면 $p$-급수도 발산한다. 이 적분은 $p \gt 1$일 때만 수렴하므로, $p$-급수는 $p \gt 1$일 때만 수렴한다.

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