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The limit of n^(1/n) 📂Lemmas

The limit of n^(1/n)

공식

lim⁡n→∞nn=1 \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

lim⁡n→∞1nn=1 \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1

증명

nn\sqrt[n]{n} 대신 ln⁡nn\ln \sqrt[n]{n}의 극한을 구하면 쉽다.

lim⁡n→∞ln⁡nn=lim⁡n→∞ln⁡nn \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n}

∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴이므로 로피탈 정리에 의해,

lim⁡n→∞ln⁡nn=lim⁡n→∞1n1=lim⁡n→∞1n=0 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n}}{1} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0

따라서,

lim⁡n→∞ln⁡nn=0  ⟹  lim⁡n→∞nn=1 \lim\limits_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{n} = 0 \implies \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

두번째 식도 같은 방식으로 증명가능하다.

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