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Ladder Operators of Angular Momentum in Spherical Coordinates 📂Quantum Mechanics

Ladder Operators of Angular Momentum in Spherical Coordinates

공식

구 좌표계에서 각운동량의 사다리 연산자는 다음과 같다.

L+=ℏeiϕ(∂∂θ+icot⁡θ∂∂ϕ)L−=−ℏe−iϕ(∂∂θ−icot⁡θ∂∂ϕ)L+L−=−ℏ2(∂2∂θ2+cot⁡θ∂∂θ+cot⁡2θ∂2∂ϕ2+i∂∂ϕ) \begin{align*} L_{+} &= \hbar e^{\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{-} &= -\hbar e^{-\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{+}L_{-} &= -\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } +\i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right) \end{align*}

유도

각운동량 사다리 연산자의 정의는 다음과 같다.

L+:=Lx+iLyL−:=Lx−iLy L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y}

이때 LxL_{x}와 LyL_{y}는 구 좌표로 다음과 같이 나타난다.

Lx=iℏ(sin⁡ϕ∂∂θ+cos⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)Ly=−iℏ(cos⁡ϕ∂∂θ−sin⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ) \begin{align*} L_{x} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{y} &= -\i\hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ \end{align*}

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

L+=iℏ(sin⁡ϕ∂∂θ+cos⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)+ℏ(cos⁡ϕ∂∂θ−sin⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)=ℏ(isin⁡ϕ∂∂θ+cos⁡ϕ∂∂θ+icos⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ−sin⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)=ℏ[(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ)∂∂θ+icot⁡θ(cos⁡ϕ+isin⁡ϕcot⁡θ)∂∂ϕ]=ℏeiϕ(∂∂θ+icot⁡θ∂∂ϕ)=ℏeiϕ(∂θ+icot⁡θ∂ϕ) \begin{align*} L_{+} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) + \hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \hbar \left(\i\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \hbar \left[ \left(\cos\phi + \i\sin\phi \right)\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cot\theta \left(\cos\phi + \i\sin\phi \cot\theta\right) \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right] \\ &= \hbar e^{\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \hbar e^{\i\phi}\left( \partial_{\theta} + \i\cot\theta \partial_{\phi}\right) \end{align*}

∂x=∂∂x\partial_{x} = \dfrac{\partial }{\partial x}로 표기하자. 같은 방식으로 계산하여 다음을 얻는다.

L±=±ℏe±iϕ(∂∂θ±icot⁡θ∂∂ϕ)=±ℏe±iϕ(∂θ±icot⁡θ∂ϕ) \begin{align*} L_{\pm} &= \pm\hbar e^{\pm\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \pm \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \pm\hbar e^{\pm\i\phi}\left( \partial_{\theta} \pm \i\cot\theta \partial_{\phi}\right) \end{align*}

여기서 L+L−L_{+}L_{-}는 위의 두 식을 곱해서 구하면 된다고 생각하기 쉽지만 그렇지 않다. 미분이 포함되어있어서 그렇게 단순하게 풀어지지는 않는다. 우선 L−ψL_{-}\psi부터 구해보면 다음과 같다. ψx=∂ψ∂x\psi_{x} = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}로 표기하자.

L−ψ=−ℏe−iϕ(∂θ−icot⁡θ∂ϕ)ψ=−ℏ(e−iϕψθ−icot⁡θψϕ) \begin{align*} L_{-}\psi &= -\hbar e^{-\i\phi} ( \partial_{\theta} -\i\cot \theta \partial _{\phi} ) \psi \\ &= -\hbar (e^{-\i\phi} \psi _{\theta}-\i\cot\theta \psi_{\phi}) \end{align*}

여기에 L+L_{+}를 적용하면 아래와 같다.

L+L−ψ=ℏeiϕ(∂θ+icot⁡θ∂ϕ)[−ℏ(e−iϕψθ−ie−iϕcot⁡θψϕ)]=−ℏ2eiϕ[∂θ(e−iϕψθ)+∂θ(−ie−iϕcot⁡θψϕ)+icot⁡θ∂ϕ(e−iϕψθ)+icot⁡θ∂ϕ(−ie−iϕcot⁡θψϕ)] \begin{align*} L_{+}L_{-}\psi &= \hbar e^{i\phi}\left( \partial_{\theta}+\i\cot \theta \partial_{\phi} \right)\left[ -\hbar \left(e^{-\i\phi}\psi_{\theta}-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) \right] \\ &= -\hbar^{2} e^{i\phi}\left[ \partial_{\theta}\left(e^{-\i\phi}\psi_{\theta}\right)+\partial_{\theta}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right)+\i\cot \theta \partial_{\phi}\left( e^{-\i\phi} \psi_{\theta}\right)+ \i\cot\theta\partial_{\phi}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) \right] \end{align*}

각각의 항을 풀어보면 다음과 같다.

∂θ(e−iϕψθ)=e−iϕψθθ \partial_{\theta}(e^{-\i\phi}\psi_{\theta}) = e^{-\i\phi}\psi_{\theta \theta }

∂θ(−ie−iϕcot⁡θψϕ)=−ie−iϕcsc⁡2θψϕ−ie−iϕcot⁡θψϕθ(1) \partial_{\theta}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) =-\i e^{-\i\phi}\csc^{2}\theta\psi_{\phi}-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi\theta} \tag{1}

icot⁡θ∂ϕ(e−iϕψθ)=icot⁡θ(−ie−iϕψθ)+icot⁡θe−iϕψθϕ=cot⁡θe−iϕψθ+icot⁡θe−iϕψθϕ \begin{align*} \i\cot \theta \partial_{\phi}\left( e^{-\i\phi} \psi_{\theta}\right) &= \i\cot\theta (-\i e^{-\i\phi}\psi_{\theta})+\i\cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta\phi} \\ &= \cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta}+\i\cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta\phi} \tag{2} \end{align*}

icot⁡θ∂ϕ(−ie−iϕcot⁡θψϕ)=icot⁡θ(−i(−i)e−iϕcot⁡θψϕ)+icot⁡θ(−ie−iϕcot⁡θψϕϕ)=−icot⁡2θe−iϕψϕ+cot⁡2θe−iϕψϕϕ \begin{align*} \i\cot\theta\partial_{\phi}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) &= \i\cot \theta \left( -\i(-i)e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right)+\i\cot\theta \left( -\i e^{-\i\phi}\cot\theta \psi_{\phi\phi} \right) \\ &= -\i\cot^{2} \theta e^{-\i\phi}\psi_{\phi} +\cot^{2}\theta e^{-\i\phi} \psi_{\phi\phi} \tag{3} \end{align*}

여기서 (1)(1)의 두번째 항과 (2)(2)의 두번째 항은 서로 상쇄된다. 또한 (1)(1)의 첫번째항과 (3)(3)의 첫번째 항을 더해보면 다음과 같다.

−ie−iϕcsc⁡2θψϕ−icot⁡2θe−iϕψϕ=−ie−iϕ(csc⁡2θ+cot⁡2θ)ψϕ=−ie−iϕ(1sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ)ψϕ=−ie−iϕ(−sin⁡2θsin⁡2θ)ψϕ=ie−iϕψϕ \begin{align*} {-}\i e^{-\i\phi}\csc^{2}\theta \psi_{\phi}-\i\cot^{2}\theta e^{-\i\phi}\psi_{\phi} &= -\i e^{-\i\phi}\left( \csc^{2}\theta + \cot^{2} \theta \right)\psi_{\phi} \\ &= -\i e^{-\i\phi}\left( \frac{1}{\sin^{2}\theta}+\frac{\cos ^{2} \theta }{\sin ^{2}\theta} \right)\psi_{\phi} \\ &= -\i e^{-\i\phi}\left( \frac{-\sin ^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} \right)\psi_{\phi} \\ &= \i e^{-\i\phi}\psi_{\phi} \end{align*}

위 결과들을 원래 식에 대입하면 아래를 얻는다.

L+L−ψ=−ℏ2eiϕ[e−iϕψθθ+cot⁡θe−iϕψθ+cot⁡2θe−iϕψϕϕ+ie−iϕψϕ]=−ℏ2(∂2∂θ2+cot⁡θ∂∂θ+cot⁡2θ∂2∂ϕ2+i∂∂ϕ)ψ \begin{align*} L_{+}L_{-}\psi &= -\hbar^{2} e^{\i\phi}\left[ e^{-\i\phi}\psi_{\theta \theta } + \cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta} +\cot^{2}\theta e^{-\i\phi}\psi_{\phi\phi} + \i e^{-\i\phi }\psi_{\phi} \right] \\ &= -\hbar^{2}\left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2}} + \i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right)\psi \end{align*}

따라서

L+L−=−ℏ2(∂2∂θ2+cot⁡θ∂∂θ+cot⁡2θ∂2∂ϕ2+i∂∂ϕ) L_{+}L_{-}=-\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } + \i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right)

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