📂Quantum Mechanics

Proof of Heisenberg's Uncertainty Principle

정리¹

두 연산자 $A$와 $B$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} \braket{[A, B]} \right)^{2} $$

이때 $\sigma_{A}^{2}$는 $A$의 분산, $[A, B]$는 $A$와 $B$의 교환자이다.

설명

위의 정리로부터 교환가능하지 않은 두 연산자에 대한 물리량은 동시에 정확히 관측될 수 없다는 사실을 알 수 있다. 물리량 $B$가 정확하게 관측된다는 것은 $\sigma_{B}^{2}$의 값이 줄어든다는 것인데, $[A, B] \ne 0$라면 부등식 좌변에 최솟값이 정해져있고, 이는 $\sigma_{B}^{2}$가 줄어드는 동시에 $\sigma_{A}^{2}$의 값이 커진다는 것을 의미한다. 따라서 $B$의 물리량을 정확하게 측정하면 측정할수록 $A$의 물리량은 더 불확실해진다.

위치와 운동량의 관계

증명

$\sigma_{A}^{2}$은 정의에 따라 다음과 같다.

$$ \sigma_{A}^{2} = \braket{\psi | (A - \braket{A})^{2} | \psi} = \braket{(A - \braket{A})\psi | (A - \braket{A})\psi} $$

편의를 위해 $f = (A - \braket{A})\psi$라 하자.

$$ \sigma_{A}^{2} = \braket{f | f} $$

마찬가지로 $g = (B - \braket{B})\psi$이라 두면,

$$ \sigma_{B}^{2} = \braket{g | g} $$

코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음을 얻는다.

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} = \braket{f | f} \braket{g | g} \ge \left| \braket{f | g} \right|^{2} $$

또한 임의의 복소수 $z$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left| z \right|^{2} = \Re{z}^{2} + \Im{z}^{2} \le \Im{z}^{2} = \left( \dfrac{1}{2\i} (z - z^{\ast}) \right)^{2} $$

마지막 등식은 $z = x + \i y$로 두고 직업 계산해보면 쉽게 알 수 있다. 이제 위의 두 부등식으로부터 다음을 얻는다.

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left| \braket{f | g} \right|^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} (\braket{f | g} - \braket{g | f}) \right)^{2} \tag{1} $$

이제 $\braket{f | g}$를 계산해보자.

$$ \begin{align*} \braket{f | g} &= \braket{(A - \braket{A})\psi | (B - \braket{B}) | \psi} \\ &= \braket{\psi | (A - \braket{A})(B - \braket{B}) | \psi} \\ &= \braket{\psi | AB - A\braket{B} - \braket{A}B + \braket{A}\braket{B} | \psi} \\ &= \braket{\psi | AB | \psi} - \braket{B}\braket{\psi | A | \psi} - \braket{A}\braket{\psi | B | \psi} + \braket{A}\braket{B} \braket{\psi | \psi} \\ &= \braket{AB} - \braket{B}\braket{A} - \braket{A}\braket{B} + \braket{A}\braket{B} \\ &= \braket{AB} - \braket{A}\braket{B} \end{align*} $$

같은 방식으로 $\braket{g | f} = \braket{BA} - \braket{A}\braket{B}$가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \braket{f | g} - \braket{g | f} &= (\braket{AB} - \braket{A}\braket{B}) - (\braket{BA} - \braket{A}\braket{B}) \\ &= \braket{AB} - \braket{BA} \\ &= \braket{AB - BA}\\ &= \braket{[A, B]} \end{align*} $$

위 식에서 세번째 등호가 성립하는 이유는 기댓값이 선형이기 때문이다. 이 결과를 (1)에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} \braket{[A, B]} \right)^{2} $$

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같이보기

• 푸리에 해석에서의 증명