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Method of Comparative Judgment

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정리¹

두 급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$에 대해서 $a_{n}, b_{n} \gt 0$이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 만약 $\forall n \ a_{n} \le b_{n}$이고 $\sum b_{n}$이 수렴하면, $\sum a_{n}$도 수렴한다.
2. 만약 $\forall n \ a_{n} \ge b_{n}$이고 $\sum b_{n}$이 발산하면, $\sum a_{n}$도 발산한다.

설명

이를 (직접) 비교 판정법이라 한다. 보통은 비교 판정법이라 하지만, 이름이 비슷한 극한비교판정법이 있어 명확한 구분을 필요할 땐 직접 비교 판정법이라 부르기도 한다.

큰 급수가 수렴하면 그보다 작은 급수도 수렴하고, 작은 급수가 발산하면 그보다 큰 급수도 발산한다는 직관적인 정리이다. 비교 판정법으로 급수의 수렴성을 판별할 때 아래의 두 급수가 자주 사용된다.

• $p$-급수 $\sum \dfrac{1}{n^{p}}$

• 기하급수 $\sum ar^{n}$

증명

우선 다음과 같은 표기하자.

$$ s_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i}, \qquad t_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} b_{i}, \qquad t = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} b_{i} $$

1.

주어진 두 급수 모두 각 항이 $0$보다 크기 때문에 $\left\{ s_{n} \right\}$과 $\left\{ t_{n} \right\}$ 증가수열이다. 모든 $n$에 대해서 $t_{n} \le t$이다. 가정에 의해 $s_{n} \le t_{n}$이므로,

$$ s_{n} \le t \quad \forall n $$

$s_{n}$이 유계인 증가수열이므로, 단조수열정리에 의해 $s_{n}$은 수렴한다.

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2.

만약 $\sum b_{n}$이 발산하면 $\left\{ t_{n} \right\}$은 증가수열이므로, $\lim\limits_{n \to \infty}t_{n} = \infty$이다. $s_{n} \ge t_{n}$이므로, 수열의 발산의 정의에 의해 $\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = \sum a_{n} = \infty$이다.

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