3차원벡터해석

수학적인 엄밀함은 조금 제하고 3차원에 한정하여 물리학, 공학 전공자 수준의 벡터해석을 다룬다. 일반적인 다변수해석, 벡터해석은 다변수벡터해석 카테고리에서 다룬다.

벡터 해석에서는 스칼라 함수 $f = f(x,y,z)$와 벡터 함수 $\mathbf{f}(x,y,z) = \left( f_{1}, f_{2}, f_{3} \right)$에 대해서 다룬다. 다만 물리학에서는 벡터 함수라는 표현보다는 간단히 벡터라고 하는 경우도 많다.

물리학에서 스칼라 함수로 자주 쓰이는 표기로는 $T, V, U, \phi, \psi$ 등이 있다. 스칼라 함수는 스칼라 장scalar field이라고도 한다.

$$ T = T(x,y,z) $$

수식적으로는 $T(x,y,z)=2xy+z^{2}$와 같이 표현되는 함수이며, 구체적인 예로 온도를 들 수 있다. 3차원 공간의 어떤 좌표 $(x,y,z)$가 주어지면 그 곳의 온도는 스칼라 값이므로 온도는 스칼라 함수로 표현된다.

벡터 함수로 자주 쓰이는 표기로는 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ 등이 있다. 벡터 함수는 벡터 장vector field이라고도 한다.

$$ \mathbf{A} = \mathbf{A}(x,y,z) = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}} $$

수식적으로는 $\mathbf{A}(x,y,z) = \left( xy, 2y^{2}, 3xyz \right) = xy\hat{\mathbf{x}} + 2y^{2}\hat{\mathbf{y}} + 3xyz\hat{\mathbf{z}}$와 같이 표현되는 함수이며, 구체적인 예로 속도를 들 수 있다. 3차원 공간에서 운동하고 있는 어떤 물체의 좌표 $(x,y,z)$가 주어지면 그 곳에서의 물체의 속도는 3차원 벡터이므로 속도는 벡터 함수로 표현된다.

그런데 물리에서는 벡터 함수의 변수가 시간 $t$에 의존하는 경우를 많이 다룬다. 이 때는 다음과 같이 일변수 벡터함수 꼴로 표현 된다. $\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) )$라고 하면,

$$ \mathbf{A} (t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) = \mathbf{A}(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) = \left( A_{1}(t), A_{2}(t), A_{3}(t) \right) $$

벡터 대수

벡터 미분

벡터 적분

좌표계

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