행렬대수
선형 대수의 내용 중에서도 행렬에 대한 내용을 중심으로 연립 방정식, 행렬의 대각화, 행렬 분해, 고유값 문제, 행렬변환 등을 다룬다. 일반적인 벡터 공간에 대한 내용은 선형대수 카테고리에서 찾을 수 있다. 티스토리 지점에서의 수치선형대수가 해당 카테고리에 통합되었다.
여러가지 행렬
- 벡터의 정의
- 행렬의 정의
- 행렬의 연산: 상수배, 덧셈, 곱셈
- 정사각 행렬
- 대각 행렬
- 🔒(23/01/02) 대각행렬곱을 통한 행렬의 행별, 열별 스칼라곱
- 대각합
- 항등 행렬, 영 행렬
- 전치 행렬
- 역행렬, 가역행렬
- 유사역행렬
- 대칭 행렬, 반대칭 행렬
- 켤레 전치 행렬
- 행렬의 내적
- 직교 행렬
- 에르미트 행렬
- 유니타리 행렬
- 정부호 행렬
연립 방정식과 행렬
고유값 문제
- 고유값과 고유벡터
- 고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도
- 🔒(22/11/09) 스펙트럴 래디어스 $\rho(A)$
- 🔒(22/08/07) 페론-프로베니우스 정리
행렬 분해와 최소제곱법
- 행렬의 닮음
- 일차 형식과 이차 형식
- 프로베니우스 놈 $\left\| \cdot \right\|_{F}$
- 최소제곱법
- 행렬대수에서 사영이란
- 스펙트럴 이론 증명
- 행렬의 특이값 분해
- 정칙행렬의 슈어 분해
- 정칙행렬의 LU 분해
- 대칭행렬의 LDU 분해
- 양의 정부호 행렬의 콜레스키 분해
- 행렬의 QR 분해
행렬변환
주요 참고문헌
- Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition). 2019
- 김상동. (2012). 수치행렬해석
전체 포스트
- 행공간, 열공간, 영공간
- 행렬의 랭크, 무효차수
- 연립방정식으로 이해하는 랭크와 무효차수
- 고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도
- 행렬의 닮음과 고유값
- 고유값의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같다
- 정칙행렬의 고유값 대각화
- 행렬의 특이값 분해
- 전체 특이값 분해의 존재성 증명
- 정칙행렬의 슈어 분해
- 스펙트럴 이론 증명
- 정칙행렬의 LU 분해
- 대칭행렬의 LDU 분해
- 양의 정부호 행렬의 콜레스키 분해
- 콜레스키 분해의 유일성 증명
- 행렬대수에서 사영이란
- 최소제곱법
- 행렬의 QR 분해
- QR 분해를 통한 최소제곱법
- 콜레스키 분해를 통한 최소제곱법
- 특이값 분해를 통한 최소제곱법
- 라플라스 전개
- 크레이머 법칙 증명
- 방데르몽드 행렬의 행렬식 유도
- 삼중대각행렬의 행렬식 유도
- 슈트라센 알고리즘 증명
- 타원의 일반화: 일립소이드
- 벡터의 정의
- 행렬의 정의
- 행렬의 연산: 상수배, 덧셈, 곱셈
- 정사각행렬
- 대각행렬, 삼각 행렬
- 대각합
- 항등행렬, 영행렬
- 전치행렬
- 역행렬, 가역행렬
- 가역행렬일 동치 조건
- 대칭행렬, 반대칭행렬
- 켤레전치행렬
- 행렬의 내적
- 직교행렬
- 직교행렬의 성질
- 직교행렬일 동치 조건
- 에르미트 행렬
- 에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수이다
- 에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다
- 유니타리 행렬
- 연립 일차 방정식
- 첨가행렬과 기본 행 연산
- 행렬식
- 행렬식의 성질
- 일차/이차/쌍선형/에르미트 형식
- 정부호 행렬
- 고유값과 고유벡터
- 행렬의 닮음
- 행렬변환
- 가우스-요르단 소거법
- 동차 연립 일차 방정식
- 기본행렬
- 역행렬과 연립 일차 방정식
- 행공간, 열공간, 영공간에 대한 기저
- 유사 역행렬
- 회전변환
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