선형대수
선형 대수의 내용 중에서도 일반벡터공간에 대한 내용을 중심으로 다루며 유한차원 위주의 선형변환, 실내적공간의 내용을 포함한다. 행렬에 대한 내용은 행렬대수 카테고리에서 찾을 수 있다. 같은 내용일지라도 선형대수 카테고리의 글이 더 추상적이거나 어려울 수 있다.
다다익선: 선형대수학은 많이 공부하면 많이 공부할수록 좋다
선형대수학이 필요한 사람이라면 “~를 위한 선형대수학"이 아닌 “선형대수학"을 공부하는 것을 권해본다.
벡터공간
잉여류와 몫 공간
- 잉여류와 몫 공간 $v + W$, $V/W$
- 몫 공간의 기저와 차원
- 몫 공간으로의 사상 $\eta : V \to V/W$
- 몫 공간 위의 선형변환 $\overline{T} : V/W \to V/W$
- 선형변환과 몫공간으로의 사상의 특성다항식 사이의 관계
- 대각화가능한 선형변환의 몫 공간 위의 변환도 대각화가능하다
선형변환
- 선형변환 $T : V \to W$
- 단사, 전사일 필요충분조건
- 정의역의 기저는 선형변환의 상을 생성한다
- 두 유한차원 벡터공간 사이의 선형변환
- 동형사상
- 선형변환공간 $L(V,W)$, $\operatorname{Hom}(V,W)$, $\operatorname{End}(V)$
- 치역이 커널보다 작을 동치조건
- 멱영 $T^{k} = 0$
- 멱영의 고유값은 오직 0뿐이다
- 영공간의 성질
고유값과 대각화
- 대각화가능한 선형변환
- 고유값, 고유벡터 $Tv = \lambda v$
- 특성 다항식 $f(t) = \det(T - tI)$
- 대각화가능한 선형변환의 특성다항식은 분해된다
- 케일리-해밀턴 정리 $f(T) = T_{0}$
- 특성다항식이 분해될 필요충분조건
- 불변 부분공간
- 불변부분공간과 고유벡터의 관계
- 대각화가능한 선형변환의 불변부분공간으로의 축소사상도 대각화가능하다
- 선형변환이 대각화가능할 충분조건
- 순환 부분공간
적분변환
쌍대공간
- 선형 범함수
- 일차 형식
- 이차 형식
- 🔒 (24/06/19) 이차 형식이 $0$ 이 되는 필요충분조건
- 🔒 (24/07/29) 양정부호 행렬의 고유값과 이차형식의 최대값
- 쌍선형 형식과 에르미트 형식
- 쌍대 공간
- 이중 쌍대 공간
- 반사공간
- 쌍대공간으로 정의되는 선형변환의 전치
텐서
- 벡터공간의 텐서곱 $V \otimes W$
- 곱 벡터 $v \otimes w$
- 텐서곱의 보편성질
- 선형변환의 텐서곱 $\phi \otimes \psi$
- 텐서곱의 행렬표현 $\begin{bmatrix} \phi \otimes \psi \end{bmatrix}_{\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}}^{{\mathcal{V}}^{\prime} \otimes \mathcal{W}^{\prime}}$
- 텐서곱과 쌍대공간 $V^{\ast} \otimes W^{\ast} \cong (V \otimes W)^{\ast}$
- 텐서곱의 전치 $(\phi \otimes \psi)^{t}$
내적공간
- 실벡터공간에서 내적이란?
- 직교여공간
- 직교성과 선형독립의 관계
- 직교기저들에 상대적인 좌표
- 선형대수에서 사영정리
- 그램-슈미트 직교화
- 선형대수학에서 노름 혹은 놈이란
- 놈의 동치관계
- 횔더 부등식
- 민코프스키 부등식
주요 참고문헌
- Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002)
- Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019)
전체 포스트
- 이차형식
- 쌍선형 형식과 에르미트 형식
- 벡터공간의 정의
- 벡터공간의 부분공간
- 선형 결합, 생성
- 선형 독립과 선형 종속
- 벡터공간의 차원
- 벡터공간에서 직합이란
- 그램-슈미트 직교화
- 론스키안의 정의와 독립종속 판별
- 선형대수학에서 노름 혹은 놈이란
- 횔더 부등식
- 부분공간의 직교여공간
- 놈의 동치관계
- 민코프스키 부등식
- 선형범함수가 연속일 필요충분조건
- 선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건
- 쌍대 공간
- 벡터 공간의 리플렉시브
- 적분 변환이란
- 컨볼루션의 일반적인 정의
- 벡터 공간에서 볼록 집합 컨벡스 셋
- 일차 형식
- 벡터공간의 기저
- 선형대수에서 사영정리
- 유한차원 벡터공간에서 기저일 필요충분조건
- 선형변환
- 실벡터공간에서 내적이란?
- 직교성과 선형독립의 관계
- 기저의 더하기/빼기 정리
- 직교기저들에 상대적인 좌표
- 정의역의 기저는 선형변환의 상을 생성한다
- 선형변환의 커널, 치역
- 선형변환의 랭크, 무효차수, 차원정리
- 선형변환이 전사, 단사일 필요충분조건
- 선형변환의 합성
- 선형변환의 놈
- 가역선형변환 공간의 성질
- 선형변환의 행렬표현
- 모든 n차원 실벡터공간은 R^n과 동형이다
- 선형변환의 트레이스
- 유한차원 벡터공간 사이의 선형변환
- 순서 기저와 좌표 벡터
- 선형 범함수
- 선형변환공간
- 선형변환의 역
- 동형사상
- 선형변환공간과 그 행렬표현공간은 동형이다
- 쌍대공간으로 정의되는 선형변환의 전치
- 이중 쌍대 공간
- 선형변환의 치역이 커널보다 작을 동치조건
- 기저의 확장과 축소
- 부분공간의 기저로부터 확장된 기저에 대한 선형변환의 행렬표현
- 행렬 공간
- 좌측 곱셈 변환(행렬변환)
- 벡터의 좌표 변환
- 선형변환의 기저변환(좌표변환)
- 대각화가능한 선형변환
- 유한차원 선형변환의 고유값과 고유벡터
- 선형변환의 특성 다항식
- 서로 다른 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 선형독립이다
- 다항식 벡터공간
- 대각화가능한 선형변환의 특성다항식은 분해된다
- 아핀 독립의 정의
- 선형변환의 고유값의 중복도
- 선형변환의 고유공간과 기하적 중복도
- 서로 다른 고유공간의 선형독립인 집합의 합집합은 선형독립이다
- 벡터공간의 불변 부분공간
- 불변부분공간과 고유벡터의 관계
- 대각화가능한 선형변환의 불변부분공간으로의 축소사상도 대각화가능하다
- 선형대수학에서 잉여류와 몫공간
- 몫공간의 기저와 차원
- 몫 공간으로의 사상
- 몫 공간 위의 선형변환
- 선형변환과 몫공간으로의 사상의 특성다항식 사이의 관계
- 대각화가능한 선형변환의 몫공간 위의 변환도 대각화가능하다
- 벡터공간에서 부분공간의 합
- 직합의 성질
- 합집합의 생성은 생성의 합과 같다
- 선형변환의 대각화가능성과 고유값의 중복도, 고유공간의 관계
- 멱영 선형변환
- 멱영의 고유값은 오직 0뿐이다
- 멱영 변환의 영 공간
- 벡터공간의 순환 부분공간
- 케일리-해밀턴 정리
- 불변부분공간의 직합과 이의 특성다항식
- 선형대수학에서 플래그란?
- 벡터공간의 텐서곱
- 텐서곱의 곱 벡터
- 텐서곱의 보편 성질
- 선형변환의 텐서 곱
- 텐서곱의 행렬표현
- 선형변환의 합과 상수배의 행렬표현
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