동역학
어떤 시점의 스테이트가 그 과거의 스테이트로 표현되는 계를 동역학계라고 한다. 예로써 $x_{n}$ 이 있다면 이것이 어떠한 맵 $f$ 에 대해 $x_{n+1} = f (x_{n} )$ 과 같이 나타낼 수 있을 때, 혹은 $x$ 의 상태가 어떠한 함수 $g$ 에 대해 $\dot{x} = g(x)$ 와 같이 미분방정식으로 나타날 수 있는 경우를 생각해볼 수 있다. 이때 결정론적인 값이 구해지는 시스템을 동적 시스템이라고 부르며, 비결정론적인 시스템을 확률과정이라고 부른다.1
동역학은 이러한 동역학계에 대한 수학적 접근으로써, 수리적 모델링과 시스템의 분석 등을 포함하는 수학의 한 분과다. 국내에서의 낮은 인지도와는 달리 물리, 화학, 생물, 비즈니스 등에서 다채롭게 응용되는 큰 갈래로, 시공간에 대한 추상적인 탐구는 물론 실전적인 문제 해결에서도 활발하게 쓰이고 있다.
마크 | 세부 분류 |
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⚫ | 혼돈이론 |
🟢 | 수리생물학 |
일반 동역학
집합과 공간
맵
- 맵으로 표현되는 동역학계와 고정점
- 1차원 맵
- 다차원 맵
미분방정식
분기 이론
수리적 모델링
- 수학에서의 질량 작용 법칙
- 로렌츠 어트랙터 ⚫
- 🔒(24/04/10) 뢰슬러 어트랙터 ⚫
물리 현상
인구 성장
- 맬서스 성장 모델: 이상적인 집단 성장 🟢
- 로지스틱 성장 모델: 집단 성장의 한계 🟢
- 곰페르츠 성장 모델: 시간에 따른 성장 지연 🟢
- 바스 확산 모델: 혁신과 모방
- 롯카-볼테라 포식자-피식자 모델 🟢
- 롯카-볼테라 경쟁 모델 🟢
- 메이-레너드 경쟁 모델 🟢
- 란체스터 법칙
- 일제사격 전투 모델
- 🔒(12/23) 레즐리 연령 구조 모델 🟢
- 🔒(24/01/11) 폰 푀르스터 방정식 🟢
- 🔒(24/03/17) 인구 균형 방정식 🟢
질병 확산
- 역학 구획 모델 🟢
- 전염병 확산 모델에서 기초감염재생산수란? 🟢
- SIR 모델: 가장 기본적인 확산 모델 🟢
- SIS 모델: 재감염과 고질병 🟢
- SEIR 모델: 잠복기와 잠재기 🟢
- SIRV 모델: 백신과 돌파감염 🟢
- SIRD 모델: 죽음과 치명률 🟢
- 성병 모델: 2개 집단 간의 질병 전파 🟢
- 종간 전염 모델: 3개 집단 간의 질병 전파 🟢
- 에이즈 전염 모델 🟢
커플링
셀룰러 오토마타
에이전트 기반 시뮬레이션
격자 모델 시뮬레이션
주요 참고문헌
- Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology
- Ottar N. Bjørnstad. (2018). Epidemics Models and Data using R
- Capasso. (1993). Mathematical Structures of Epidemic Systems
- Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory(2nd Edition)
- Strogatz. (2015). Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering(2nd Edition)
- Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems
-
Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p2. ↩︎
전체 포스트
- 맵으로 표현되는 동역학계와 고정점
- 로렌츠 어트랙터
- 1차원 맵의 싱크와 소스 판정법
- 맵 시스템의 오빗
- 1차원 맵의 랴푸노프 수
- 1차원 맵의 혼돈, 카오스
- 리-요크 정리 증명
- 샤르코우스키 정리
- 로지스틱 패밀리
- 카오스 이론에서 맵들의 컨쥬게이트
- 슈발치언 도함수
- 바이퍼케이션 다이어그램
- 네츄럴 인베리언트 메져
- 카오틱 트랜지션
- 다차원 선형 맵
- 다차원 비선형 맵
- 다차원 맵의 랴푸노프 수와 그 수치적 계산법
- 다차원 맵의 카오스
- 어트랙터의 카오스
- 미분방정식으로 표현되는 동역학계와 평형점
- 자율 시스템의 플로우와 타임-T 맵
- 자율 시스템의 오빗과 리미트 사이클
- 비선형 시스템의 선형화
- 랴푸노프 안정성과 오빗 안정성
- 더핑 오실레이터
- 자율 시스템에서 고정점의 분류
- 랴푸노프 함수
- 동역학에서의 불변 집합
- 불변 매니폴드의 안정성
- 벤딕슨 판정법
- 2차원 자율 시스템에서 피리어딕 오빗의 부재성
- 2차원 자율 시스템에선 혼돈이 일어나지 않는다 푸앙카레-벤딕슨 정리 증명
- 자율 시스템의 보존량
- 동역학에서의 리우빌 정리 증명
- 푸앙카레 재귀 정리 증명
- 자율 시스템의 오메가 리미트 셋
- 동역학에서의 어트랙터
- 어트랙팅 셋의 베이신
- 라살 불변 원리 증명
- 맬서스 성장 모델: 이상적인 집단 성장
- 랩
- 홈
- 동역학적 모델 시뮬레이션
- 에이전트 기반 시뮬레이션 첫걸음: 산점도로 나타내기
- 에이전트 기반 모델 시뮬레이션에서의 번식
- 에이전트 기반 모델 시뮬레이션에서의 사망
- 로지스틱 성장 모델: 집단 성장의 한계
- 격자 모델 시뮬레이션 첫걸음: 히트맵으로 나타내기
- 격자 모델 시뮬레이션에서의 확산
- 수리생물학에서의 알리 효과
- 곰페르츠 성장 모델: 시간에 따른 성장 지연
- 바스 확산 모델: 혁신과 모방
- 롯카-볼테라 포식자-피식자 모델
- 롯카-볼테라 경쟁 모델
- 메이-레너드 경쟁 모델
- 란체스터 법칙
- 일제사격 전투 모델
- 역학 구획 모델
- 전염병 확산 모델에서 기초감염재생산수란?
- SIR 모델: 가장 기본적인 확산 모델
- SIS 모델: 재감염과 고질병
- 성병 모델: 2개 집단 간의 질병 전파
- 종간 전염 모델: 3개 집단 간의 질병 전파
- 푸앙카레 맵
- 에이즈 전염 모델
- 수학에서의 질량 작용 법칙
- 동역학계의 엄밀한 정의
- 동역학에서의 오빗과 페이즈 포트레이트
- 동역학계 간 위상적 동치
- 커플드 다이내믹 시스템
- 레즐리 연령 구조 모델
- SEIR 모델: 잠복기와 잠재기
- SIRV 모델: 백신과 돌파감염
- SIRD 모델: 죽음과 치명률
- 메타개체군 모델
- 오일러 이동 모델
- 라그랑주 이동 모델
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