기하학
평면 도형
공간 도형
일반화
- 벡터공간에서 정의되는 기저의 방향
- 일반적인 각도와 수직의 정의
- 일반적인 직선, 평면, 구의 정의
- 일반적인 나선의 정의
- 일반적인 평행육면체의 정의
- 모듈라이 공간
- 컨벡스 헐의 정의
- 심플렉스 $\Delta^{n}$
미분기하학
국소 곡선 이론
전역 곡선 이론
국소 곡면 이론
곡면이론에서, 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$의 정의역인 $U$의 좌표의 표기법으로 $(u_{1}, u_{2})$ 혹은 $(u,v)$를 쓴다. 아인슈타인 표기법을 적극적으로 사용하는 경우에는 $(u_{1}, u_{2})$를 사용한다. 그렇지 않고 불필요한 아랫첨자로 표기법이 더러워지는 걸 피해고자 할 때는 $(u, v)$를 쓴다.
제1 기본형식과 제2 기본형식
- 제1 기본형식
- 법곡률과 측지곡률 $\kappa_{n}$, $\kappa_{g}$
- 제2 기본형식
- 크리스토펠 심볼 $\Gamma_{ij}^{k}$
- 가우스 공식
- ‘내재적/본질적’의 정의
측지선과 평행
바인가르텡 맵모양 연산자
곡률
- 주곡률 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$
- 오일러 정리
- 가우스 곡률과 평균 곡률 $K = \kappa_{1}\kappa_{2}, H = \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2}$
- 곡면의 넓이
- 가우스 맵의 정의와 가우스 곡률과의 관계
- 리만 곡률 텐서 $R_{ijk}^{l}$, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식
- 가우스의 위대한 정리
곡면의 기본 정리
상수 곡률인 곡면들
전역 곡면 이론
단순 곡률
방향성
가우스-보네 정리
- 가우스-보네 공식
- 전역 가우스-보네 공식
- 오일러 지표 $\chi = V - E + F$
- 정칙 영역, 단순 영역, 삼각화
- 지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계 $\chi = 2(1-g)$
야코비 정리
- 야코비 정리
벡터필드의 인덱스
- 벡터 필드의 영점과 인덱스 $I(V) = \sum i_{p}(V)$
- 푸앙카레-브라우어 정리 $I(M) = \chi(M)$
미분형식
- 코탄젠트 공간 $T_{p}^{\ast}M$, $1$차 미분형식 $\omega : M \to T_{p}^{\ast}M$
- $2$차 미분형식 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$
- $k$차 미분형식 $\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$
- 미분 형식의 연산: 합과 쐐기곱 $\wedge$
- 풀백
- $k$차 미분형식의 외미분
미분다양체와 리만기하학
- 미분가능한 다양체 $M$
- 다양체 위에서 미분가능한 함수 $f : M_{1} \to M_{2}$
- 미분다양체 위에서 미분가능한 함수들의 집합 $\mathcal{D}(M)$
- 미분 다양체 위의 탄젠트 벡터, 탄젠트 공간 $T_{p}M$
- 미분 다양체 위에서 정의된 함수의 미분 $d \phi_{p}$
- 미분 동형 사상
- 이멀젼과 임베딩
벡터 필드
- 탄젠트 번들 $TM = \bigcup\limits_{p \in M}T_{p}M$
- 벡터 필드 $X : M \to TM$
- 미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합 $\frak{X}(M)$
- 리 브라켓 $[X, Y] = XY - YX$
- 로컬 플로우
리만 메트릭, 접속
- 리만 메트릭과 리만 다양체 $(M, g)$
- 등거리사상과 국소 등거리사상
- 곡선을 따르는 벡터필드
- 아핀 접속 $\nabla_{X}Y$
- 공변도함수 $\dfrac{d V}{d t}$
- 평행한 벡터필드
- 양립가능한 접속
- 접속의 대칭성
- 레비-치비타 접속
측지선
곡률
- 리만 곡률 텐서 $R$
- 단면 곡률 $K(\sigma)$
- 리치 곡률 $\Ric$
- 스칼라 곡률 $K$
- 공변도함수와 리만곡률의 관계
- 텐서란? $T : \frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$
- 텐서의 공변미분 $\nabla T$, 공변도함수 $\nabla_{Z}T$
주요 참고문헌
- Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
- Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)
전체 포스트
- 측지선 좌표조각사상의 크리스토펠 심볼
- 측지선 좌표조각사상의 가우스 곡률
- 3차원 공간의 뫼비우스 띠의 좌표조각사상
- 일반적인 평행육면체의 정의
- 타원
- 타원의 둘레
- 미분기하학에서 곡면의 넓이
- 가우스 곡률에 따른 회전면의 분류
- 벡터필드의 평행이동
- 회전면의 성질
- 구의 입체각
- 일반적인 각도와 수직의 정의
- 벡터공간에서 정의되는 기저의 방향
- 일반적인 직선, 평면, 구의 정의
- 곡선의 정의
- 재매개변수화
- 접선과 탄젠트 벡터 필드
- 현의 정의
- 프레네-세레의 도구: 곡률, 접선, 법선, 종법선, 비틀림
- 프레네-세레 공식
- 3차원 유클리드 공간에서 곡선이 평면 속에 놓이는 동치조건
- 일반적인 나선의 정의
- 랑크레 정리 증명
- 접평면과 법평면
- 구면에 놓이는 곡선에 대한 공식
- 미분가능한 다양체
- 재매개변수화와 프레네-세레의 도구
- 곡선의 기본정리 증명
- 3차원 단위 구의 좌표조각사상
- 평면곡선의 탄젠트, 노멀, 곡률
- 폐곡선의 정의
- 단순 곡선의 정의
- 모듈라이 공간
- 폐곡선의 회전수
- 사영공간
- 평면곡선의 회전수
- 미분 다양체 위에서 미분 다양체로의 미분가능한 함수
- 회전수 정리 증명
- 미분 다양체 위의 탄젠트 벡터, 탄젠트 공간
- 평면 단순 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식 유도
- 등주 부등식 증명
- 미분 다양체 위에서 정의된 함수의 미분
- 단순 곡면, 좌표조각사상
- 곡면 이론에서의 좌표 변환
- 미분 동형 사상
- 접평면과 노멀 벡터
- 단순 곡면 위의 탄젠트 벡터
- 고유조각사상
- 미분기하학에서 곡면의 정의
- 제1 기본 형식, 리만 메트릭
- 리만 메트릭을 사용한 계산의 구체적인 예시
- 단순 곡면 위의 매개변수 곡선
- 법곡률과 측지곡률
- 미분기하학에서 제2 기본 형식
- 미분기하학에서 크리스토펠 기호
- 미분기하학에서 가우스 공식
- 미분기하에서 내재적/본질적의 정의
- 크리스토펠 심볼은 내재적이다
- n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다
- 측지곡률은 내재적이다
- 미분기하에서 곧은선(측지선)의 정의
- 미분기하에서 회전면
- 미분다양체 위의 이멀젼과 임베딩
- 회전면위의 측지선
- 곡면 위의 곡선을 따라서 평행한 벡터필드
- 측지선의 유일성 정리
- 최단거리 곡선이면 측지선이다
- 미분기하에서 방향 도함수
- 측지선 좌표조각사상
- 제2 기본형식의 성질
- 노말 섹션의 정의와 무스니어의 정리
- 바인가르텡 맵
- 바인가르텡 방정식
- 제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계
- 제1 기본형식과 좌표변환의 관계
- 주곡률
- 미분기하에서 오일러 정리
- 곡선을 따라서 평행한 벡터필드의 성질
- 가우스 곡률과 평균 곡률
- 가우스 맵의 정의와 가우스 곡률과의 관계
- 곡선을 따라서 평행한 벡터필드일 필요충분조건
- 미분기하학에서 리만 곡률 텐서, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식
- 가우스의 위대한 정리
- 두 곡면 사이에서 미분가능한 함수
- 미분기하에서 등거리 사상
- 미분기하에서 국소 등거리 사상
- 곡면의 기본 정리
- 가우스 곡률이 양수인 회전면
- 곡률이 양수인 두 회전면은 국소 등거리이다
- 곡률이 0인 회전면
- 미분기하에서 컴팩트 곡면
- 가향곡면
- 미분기하에서 곡면의 리젼과 리젼의 경계
- 미분기하에서 전각변동
- 미분기하에서 널 호모토픽
- 단순 연결 리젼
- 가우스-보네 정리
- 기하학에서의 오일러 지표
- 코탄젠트 공간과 1차 미분 형식
- 2차 미분 형식
- k차 미분 형식
- 컨벡스 헐의 정의
- 미분 형식의 연산: 합과 쐐기곱
- 미분기하에서 풀백
- k-형식의 외미분
- 이멀젼은 로컬하게는 임베딩이 된다.
- 미분다양체 위의 탄젠트 번들
- 미분다양체 위의 벡터필드
- 벡터필드의 리 브라켓
- 리만 메트릭과 리만 다양체
- 리만다양체 위의 등거리사상과 국소 등거리사상
- 미분다양체위의 곡선을 따르는 벡터필드
- 아핀 접속
- 벡터필드의 공변도함수
- 미분다양체 위의 평행한 벡터필드
- 양립가능한 접속
- 접속의 대칭성
- 레비-치비타 접속, 리만 접속, 커넥션의 계수, 크리스토펠 기호
- 미분다양체 위의 측지선
- 측지선 유동
- 측지선의 균질성
- 지수 사상
- 미분가능한 곡선과 최소화
- 매개변수화된 곡면
- 리만기하학에서 가우스 보조정리
- 최소화 성질을 갖는 측지선
- 지수 사상과 노말 네이버후드
- 푸앙카레 메트릭
- 미분다양체의 곡률
- 비앙키 항등식
- 리만곡률텐서의 대칭성
- 리만곡률텐서의 좌표계 표현
- 미분다양체의 단면 곡률
- 단면곡률이 같으면 리만곡률도 같다
- 미분다양체의 리치 곡률
- 미분다양체의 스칼라 곡률
- 공변도함수와 리만곡률의 관계
- 미분다양체 위에서 정의되는 텐서
- 미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합
- 미분다양체 위에서 미분가능한 실수값 함수들의 집합
- 심플렉스의 정의
- 가우스 곡률이 음수인 회전면
- 3차원 공간의 토러스의 좌표조각사상
- 포물선
- 쌍곡선
- 원
- 이차 곡선
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