기하학

평면 도형

타원
- 타원의 둘레

공간 도형

구의 입체각

일반화

미분기하학

국소 곡선 이론

전역 곡선 이론

국소 곡면 이론

곡면이론에서, 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$의 정의역인 $U$의 좌표의 표기법으로 $(u_{1}, u_{2})$ 혹은 $(u,v)$를 쓴다. 아인슈타인 표기법을 적극적으로 사용하는 경우에는 $(u_{1}, u_{2})$를 사용한다. 그렇지 않고 불필요한 아랫첨자로 표기법이 더러워지는 걸 피해고자 할 때는 $(u, v)$를 쓴다.

단순 곡면, 좌표조각사상
- 좌표조각사상으로 표현되는 3차원 구
- 좌표조각사상으로 표현되는 3차원 공간의 토러스
좌표 변환
접평면과 노말 벡터
탄젠트 벡터
단순 곡면 위의 매개변수 곡선
고유조각사상
$C^{k}$ 곡면
회전면
- 성질

제1 기본형식과 제2 기본형식

측지선과 평행

바인가르텡 맵^{모양 연산자}

곡률

곡면의 기본 정리

상수 곡률인 곡면들

전역 곡면 이론

단순 곡률

측지선 좌표조각사상

측지선 좌표조각사상

방향성

가향곡면
리전, 바운더리
전각변동^{total angular variation}
널 호모토픽
단순 연결 리전

가우스-보네 정리

가우스-보네 공식
전역 가우스-보네 공식
오일러 지표 $\chi = V - E + F$
정칙 영역, 단순 영역, 삼각화
지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계 $\chi = 2(1-g)$

야코비 정리

야코비 정리

벡터필드의 인덱스

벡터 필드의 영점과 인덱스 $I(V) = \sum i_{p}(V)$
푸앙카레-브라우어 정리 $I(M) = \chi(M)$

미분형식

미분다양체와 리만기하학

벡터 필드

리만 메트릭, 접속

측지선

측지선
[플로우]
[균질성]
지수 사상
미분가능한 곡선과 최소화
매개변수화된 곡면
가우스 보조정리
최소화 성질을 갖는 측지선
지수 사상과 노말 네이버후드
푸앙카레 메트릭

곡률

리만 곡률 텐서 $R$
단면 곡률 $K(\sigma)$
- 단면곡률이 같으면 리만곡률이 같다
리치 곡률 $\Ric$
스칼라 곡률 $K$
공변도함수와 리만곡률의 관계
텐서란? $T : \frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$
텐서의 공변미분 $\nabla T$, 공변도함수 $\nabla_{Z}T$

주요 참고문헌

Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)

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