기하학
평면 도형
공간 도형
일반화
- 벡터공간에서 정의되는 기저의 방향
- 일반적인 각도와 수직의 정의
- 일반적인 직선, 평면, 구의 정의
- 일반적인 나선의 정의
- 일반적인 평행육면체의 정의
- 모듈라이 공간
- 🔒(07/04) 컨벡스 헐의 정의
- 🔒(12/29) 심플렉스 $\Delta^{n}$
미분기하학
국소 곡선 이론
전역 곡선 이론
국소 곡면 이론
곡면이론에서, 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$의 정의역인 $U$의 좌표의 표기법으로 $(u_{1}, u_{2})$ 혹은 $(u,v)$를 쓴다. 아인슈타인 표기법을 적극적으로 사용하는 경우에는 $(u_{1}, u_{2})$를 사용한다. 그렇지 않고 불필요한 아랫첨자로 표기법이 더러워지는 걸 피해고자 할 때는 $(u, v)$를 쓴다.
제1 기본형식과 제2 기본형식
측지선과 평행
바인가르텡 맵모양 연산자
곡률
- 주곡률 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$
- 오일러 정리
- 가우스 곡률과 평균 곡률 $K, H$
- 가우스 맵의 정의와 가우스 곡률과의 관계
- 리만 곡률 텐서 $R_{ijk}^{l}$, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식
- 가우스의 위대한 정리
- 회전면과 가우스 곡률
- 두 회전면이 국소 등거리일 조건
- 🔒(04/20)곡률이 0인 회전면
곡면의 기본 정리
전역 곡면 이론
단순 곡률
- 🔒(04/24)컴팩트 곡면
- 🔒(04/28)컴팩트 곡면이 구spehre일 조건
측지선 좌표조각사상
방향성
- 🔒(05/02)방향을 줄 수 있는 곡면
- 🔒(05/06)리전, 바운더리
- 🔒(05/10)전각변동total angular variation
- 🔒(05/14)널 호모토픽
- 🔒(05/18)단순 연결 리전
가우스-보네 정리
- 🔒(05/22)가우스-보네 공식
- 🔒(05/26)전역 가우스-보네 공식
- 🔒(05/30)오일러 지표
- 🔒(06/03)정칙 영역, 단순 영역, 삼각화
- 🔒(06/07)지너스의 정의와 오일러 지표와의 관계
야코비 정리
- 🔒(06/11)야코비 정리
벡터필드의 인덱스
- 🔒(06/15)벡터 필드의 영점과 인덱스
- 🔒(06/19)푸앙카레-브라우어 정리
미분형식
- 코탄젠트 공간 $T_{p}^{\ast}M$, $1$차 미분형식 $\omega : M \to T_{p}^{\ast}M$
- $2$차 미분형식 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$
- $k$차 미분형식 $\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$
- 미분 형식의 연산: 합과 쐐기곱 $\wedge$
- 풀백
- $k$차 미분형식의 외미분
미분다양체와 리만기하학
- 미분가능한 다양체 $M$
- 다양체 위에서 미분가능한 함수 $f : M_{1} \to M_{2}$
- 미분다양체 위에서 미분가능한 함수들의 집합 $\mathcal{D}(M)$
- 미분 다양체 위의 탄젠트 벡터, 탄젠트 공간 $T_{p}M$
- 미분 다양체 위에서 정의된 함수의 미분 $d \phi_{p}$
- 미분 동형 사상
- 이멀젼과 임베딩
- 🔒(07/17)이멀젼은 국소적으로는 임베딩이 된다
벡터 필드
- 탄젠트 번들 $TM = \bigcup\limits_{p \in M}T_{p}M$
- 벡터 필드 $X : M \to TM$
- 미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합 $\frak{X}(M)$
- 리 브라켓 $[X, Y] = XY - YX$
- 🔒(08/02)로컬 플로우
리만 메트릭, 접속
- 🔒(08/06)리만 메트릭과 리만 다양체 $(M, g)$
- 🔒(08/10)등거리사상과 국소 등거리사상
- 🔒(11/22)리 군
- 🔒(08/14)곡선을 따르는 벡터필드
- 🔒(08/18)아핀 접속 $\nabla_{X}Y$
- 🔒(08/22)공변도함수 $\dfrac{d V}{d t}$
- 🔒(08/26)평행한 벡터필드
- 🔒(08/30)양립가능한 접속
- 🔒(09/03)접속의 대칭성
- 🔒(09/07)레비-치비타 접속
측지선
- 🔒(09/11)측지선
- 🔒(09/15)플로우
- 🔒(09/19)균질성
- 🔒(09/23)지수 사상
- 🔒(09/27)미분가능한 곡선과 최소화
- 🔒(10/01)매개변수화된 곡면
- 🔒(10/05)가우스 보조정리
- 🔒(10/09)최소화 성질을 갖는 측지선
- 🔒(10/13)지수 사상과 노말 네이버후드
- 🔒(10/17)푸앙카레 메트릭
곡률
- 🔒(10/21)리만 곡률 텐서 $R$
- 🔒(10/25)비앙키 항등식
- 🔒(10/29)대칭성
- 🔒(11/02)좌표계 표현 $R_{ijkl}$
- 🔒(11/06)단면 곡률 $K(\sigma)$
- 🔒(11/10)단면곡률이 같으면 리만곡률이 같다
- 🔒(11/14)리치 곡률 $\Ric$
- 🔒(11/18)스칼라 곡률 $K$
- 🔒(11/26)공변도함수와 리만곡률의 관계
- 텐서란? $T : \frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$
- 🔒(12/04)텐서의 공변미분 $\nabla T$, 공변도함수 $\nabla_{Z}T$
주요 참고문헌
- Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
- Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)
전체 포스트
- 코탄젠트 공간과 1차 미분 형식
- 2차 미분 형식
- k차 미분 형식
- 미분 형식의 연산: 합과 쐐기곱
- 미분기하에서 풀백
- k-형식의 외미분
- 미분다양체 위의 탄젠트 번들
- 미분다양체 위의 벡터필드
- 벡터필드의 리 브라켓
- 미분다양체 위에서 정의되는 텐서
- 미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합
- 미분다양체 위에서 미분가능한 실수값 함수들의 집합
- 일반적인 평행육면체의 정의
- 타원
- 타원의 둘레
- 벡터필드의 평행이동
- 구의 입체각
- 일반적인 각도와 수직의 정의
- 벡터공간에서 정의되는 기저의 방향
- 일반적인 직선, 평면, 구의 정의
- 곡선의 정의
- 재매개변수화
- 접선과 탄젠트 벡터 필드
- 현의 정의
- 프레네-세레의 도구: 곡률, 접선, 법선, 종법선, 비틀림
- 프레네-세레 공식
- 3차원 유클리드 공간에서 곡선이 평면 속에 놓이는 동치조건
- 일반적인 나선의 정의
- 랑크레 정리 증명
- 접평면과 법평면
- 구면에 놓이는 곡선에 대한 공식
- 미분가능한 다양체
- 재매개변수화와 프레네-세레의 도구
- 곡선의 기본정리 증명
- 좌표조각사상으로 표현되는 3차원 공간의 구
- 평면곡선의 탄젠트, 노멀, 곡률
- 폐곡선의 정의
- 단순 곡선의 정의
- 모듈라이 공간
- 폐곡선의 회전수
- 사영공간
- 평면곡선의 회전수
- 미분 다양체 위에서 미분 다양체로의 미분가능한 함수
- 회전수 정리 증명
- 미분 다양체 위의 탄젠트 벡터, 탄젠트 공간
- 평면 단순 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식 유도
- 등주 부등식 증명
- 미분 다양체 위에서 정의된 함수의 미분
- 단순 곡면, 좌표 패치
- 곡면 이론에서의 좌표 변환
- 미분 동형 사상
- 접평면과 노멀 벡터
- 단순 곡면 위의 탄젠트 벡터
- 고유조각사상
- 미분기하학에서 곡면의 정의
- 제1 기본 형식, 리만 메트릭
- 리만 메트릭을 사용한 계산의 구체적인 예시
- 단순 곡면 위의 매개변수 곡선
- 법곡률과 측지곡률
- 미분기하학에서 제2 기본 형식
- 미분기하학에서 크리스토펠 기호
- 미분기하학에서 가우스 공식
- 미분기하에서 내재적/본질적의 정의
- 크리스토펠 심볼은 내재적이다
- n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다
- 측지곡률은 내재적이다
- 미분기하에서 측지선의 정의
- 미분기하에서 회전면
- 미분다양체 위의 이멀젼과 임베딩
- 회전면위의 측지선
- 곡면 위의 곡선을 따라서 평행한 벡터필드
- 측지선의 유일성 정리
- 최단거리 곡선이면 측지선이다
- 미분기하에서 방향 도함수
- 제2 기본형식의 성질
- 노말 섹션의 정의와 무스니어의 정리
- 바인가르텡 맵
- 바인가르텡 방정식
- 제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계
- 제1 기본형식과 좌표변환의 관계
- 주곡률
- 미분기하에서 오일러 정리
- 곡선을 따라서 평행한 벡터필드의 성질
- 가우스 곡률과 평균 곡률
- 가우스 맵의 정의와 가우스 곡률과의 관계
- 곡선을 따라서 평행한 벡터필드일 필요충분조건
- 미분기하학에서 리만 곡률 텐서, 가우스 방정식, 코다찌-마이나르디 방정식
- 가우스의 위대한 정리
- 두 곡면 사이에서 미분가능한 함수
- 미분기하에서 등거리 사상
- 미분기하에서 국소 등거리 사상
- 곡면의 기본 정리
- 회전면과 가우스 곡률
- 두 회전면이 국소 등거리일 조건
- 곡률이 0인 회전면
- 미분기하에서 컴팩트 곡면
- 컴팩트 곡면이 구(Sphere)일 조건
- 유향곡면
- 미분기하에서 곡면의 영역과 경계
- 미분기하에서 전각변동
- 미분기하에서 널 호모토픽
- 단순 연결 리전
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